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9 M´ ethodes MCMC en interaction
En un certain sens les transitions de probabilit´ e M n agissent comme des
shakers de la loi η n . Toutes les M n -transitions al´ eatoires
X
(n)
k
X
(n)
k+1
partant d’une variable X
(n)
k
distribu´ ee selon la loi η n conduisent `
a de nouveaux points al´ eatoires `
a nouveau distribu´ es selon la loi η n .
Sous certaines conditions de r´ egularit´ e, nous avons
Loi(X
(n)
k ) −→ k→∞ η n et
1
k
k
l=1
δ X
(n)
l
−→ k→∞ η n
Pour plus de d´ etails concernant ces techniques de simulation, nous renvoyons
le lecteur ` a la section 6.2. Le choix des transitions M n est loin d’ˆ etre unique.
9.1.2 Les transitions de type d’acceptation-rejet
Comme nous l’avons vu au chapitre 6, lorsque la mesure de r´ ef´ erence μ est
r´ eversible par rapport ` a une transition M (x, dy), on peut choisir la transition
de type d’acceptation-rejet donn´ ee par la formule suivante
M n (x, dy) = M (x, dy) G n (y) + (1 − M (G n )(x)) δ x (dy)
(9.2)
La simulation d’une transition al´ eatoire
X
(n)
k
X
(n)
k+1
selon M n s’effectue en deux temps :
X
(n)
k
(X
(n)
k , Y
(n)
k ) X
(n)
k+1
On propose tout d’abord un nouvel ´ etat Y
(n)
k
distribu´ e selon la loi M
X
(n)
k , dy
.
On accepte ensuite cette transition avec une probabilit´ e G n
Y
(n)
k
. Dans le
cas contraire, on reste au point de d´ epart x.
⎧
⎨
⎩
X
(n)
k+1 = Y
(n)
k
avec probabilit´ e G n
Y
(n)
k
X
(n)
k+1 = X
(n)
k
avec probabilit´ e 1 − G n
Y
(n)
k