8.6 Trois illustrations
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Les meilleures estimations connues issues d’algorithmes de simulation sont `
a
peu pr` es les suivantes :
e
c
2, 638158 et b 0, 34372
Les m´ ethodes de Monte-Carlo utilis´ ees en physique num´ erique sont de la mˆ eme
mouture que les interpr´ etations particulaires des formules de Feynman-Kac
sous - jacentes.
Exercice 8.6.1 On note |A n | le cardinal de l’ensemble
A n = {(x 0 , . . . , x n ) ∈ (Z
d )
n+1 : (∀0 ≤ p < q ≤ n) |x p+1 −x p | = 1, x p = x q }
form´ e par les marches al´ eatoires auto-´ evitantes sur Z
d , initialis´ ees en l’origine.
1. Montrer que l’on a
γ n (1) = |A n |/(2d)
n
et
η n (G n ) = P(X n ∈ {X 0 , . . . , X n−1 } | ∀ 0 ≤ p < q < n , X
p = X
q )
= |A n |/(|A n−1 |(2d))
2. V´ erifier les in´ egalit´ es suivantes
|A p+q | ≤ |A p | |A q | et d
n
≤ |A n | ≤ 2d (2d − 1)
n
en conclure que
c = lim
n→∞
|A n |
1/n
∈ [d, (2d − 1)]
3. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que l’on a
lim
n→∞
1
n
log
γ n (1) = lim
n→∞
1
n + 1
n
p=0
log η n (G n ) = log (c/2d)
et proposer un sch´ ema particulaire permettant de calculer la constante c.