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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Chaˆ ınes sans intersection
Les chaˆ ınes auto-´ evitantes correspondent ` a la situation o` u les polym´ erisations
d’un nouveau monˆ ome
∀p ∈ {1, . . . , n} X p−1 = (X
0 , . . . , X
p−1 ) X p = (X
0 , . . . , X
p )
ne peuvent avoir de contact avec les pr´ ec´ edentes valeurs. Ce mod` ele s’exprime
` a nouveau par des mesures de Feynman-Kac trajectorielles
η n (f n ) =
γ n (f n )/ γ n (1)
avec
γ n (f n ) = E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n
p=1
G p (X
0 , . . . , X
p )
et des fonctions potentiel indicatrices
G p (x 0 , . . . , x p ) = 1 {x0,...,xp−1} (x p )
Par d´ efinition des mesures
γ n et
η n , nous avons
γ n (1) = P( ∀ 0 ≤ p < q ≤ n , X
p = X
q ) > 0
η n = Loi((X
0 , . . . , X
n ) | ∀ 0 ≤ p < q ≤ n , X
p = X
q )
Dans l’exercice 8.6.1, nous montrerons que la constante de normalisation
γ n (1)
est donn´ ee par
γ n (1) = a(n)/(2d)
n
o` u a(n), d´ esigne le nombre de marches auto-´ evitantes de longueur n sur le
r´ eseau Z
d . Le calcul exact de cette constante est un probl` eme de combinatoire
tr` es complexe, qui n’a `
a ce jour toujours pas ´ et´ e r´ esolu. Il semble plus ou
moins clair que l’on a
a(n) = a n
b e
nc (1 + o(1))
pour un param` etre d’amplitude a, un exposant d’entropie b, et une constante
de connectivit´ e c. Cette expression asymptotique de a(n) a ´ et´ e d´ emontr´ ee il
y a une quinzaine d’ann´ ees par T. Hara, et G. Slade ([88]). En dimension
d = 2, le probl` eme reste toujours ouvert. Beaucoup d’autres questions restent
en suspend dans Z
d , comme l’existence de la limite
lim
n→∞
a(n + 1)
a(n)
lim
n→∞
e
c
1 +
1
n
b
→ e
c ?