8.6 Trois illustrations
259
Avant de pr´ esenter deux situations pratiques, on notera que ces mesures
trajectorielles s’expriment alternativement par la formule
E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n
p=1 G p (X
0 , . . . , X
p )
E
n
p=1 G p (X
0 , . . . , X
p )
pour toute fonction test born´ ee f n sur E n . On peut ainsi les estimer, et les
simuler par les techniques d’arbres g´ en´ ealogiques d´ ecrites pr´ ec´ edemment.
Les deux mod` eles suivants repr´ esentent des formations de polym` eres dirig´ es dans le r´ eseau E
= Z
d . Dans les deux cas, la chaˆ ıne de Markov de
r´ ef´ erence correspond ` a une marche al´ eatoire simple, initialis´ ee en l’origine
(η
0 = δ 0 ), et de transitions de probabilit´ es donn´ ees par
M
n (x, dy) =
1
2d
u∈U
δ x+u (dy) avec U = {u ∈ Z
d : |u| = 1}
8.6.3 Le mod` ele d’Edwards
Le mod` ele d’auto-´ evitement d’Edwards correspond ` a la situation o` u chaque
polym´ erisation d’un nouveau monˆ ome
∀p ∈ {1, . . . , n} X p−1 = (X
0 , . . . , X
p−1 ) X p = (X
0 , . . . , X
p )
est p´ enalis´ ee par le nombre de ses points de contact avec la chaˆ ıne pr´ ec´ edente
∀p ∈ {1, . . . , n} V p ((x 0 , . . . , x p−1 ), x p ) =
p−1
k=0
1 x k (x p )
Pour p = 0, on convient que V 0 = 0. On a clairement
n
q=1
q−1
p=0
1 xp=xq =
0≤p 1 xp=xq
Par cons´ equent, la mesure de Feynman-Kac correspondante s’exprime sous la
forme suivante
1
Z β,n
exp (−β
0≤p 1 xp=xq ) P n (d(x 0 , . . . , x n ))
En terme d’int´ egrales multiplicatives, ces mesures ont la forme
E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n
p=1 G p (X
0 , . . . , X
p )
E
n
p=1 G p (X
0 , . . . , X
p )
avec les fonctions potentiel
G p (X
0 , . . . , X
p ) = exp
−β =
p−1
k=0
1 X
k
(X
p )