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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
` a valeurs dans un espace d’´ etat E
muni d’une m´ etrique d. Le param` etre de
longueur n repr´ esente le degr´ e de polym´ erisation entre les diff´ erents monˆ omes
X
p , 0 ≤ p ≤ n.
Ces derniers sont connect´ es deux ` a deux par des liaisons chimiques. Les
formations cin´ etiques de ces macro-mol´ ecules conduisent ` a des agencements
chimiques, et `
a des formes g´ eom´ etriques dict´ ees par un potentiel d’´ energie
G n (X n ) = G n (X
0 , . . . , X
n )
mesurant les degr´ es d’interaction `
a chaque ´ etape de la polym´ erisation
X n−1 = (X
0 , . . . , X
n−1 ) X n = (X
0 , . . . , X
n )
Ces potentiels d’interaction sont le plus souvent de la forme
G n (x 0 , . . . , x n ) = exp (−βV n (x 0 , . . . , x n ))
(8.42)
Le param` etre β ∈ R + repr´ esente l’inverse de la temp´ erature du solvant. Les
fonctions d’´ energie V n (x 0 , . . . , x n ) repr´ esentent les forces d’attraction, ou de
r´ epulsion physico-chimique de chaque polym´ erisation.
A basse temp´ erature β ↑ ∞, les interactions entre monˆ omes `
a longue ou
courte distance sont g´ en´ eralement de nature soit r´ epulsive, soit attractive. On
mod´ elise ces situations par des effets d’inclusions, ou d’exclusions volumiques,
de sorte ` a ce que les monˆ omes subissent des forces d’exclusions ou d’attractions.
A haute temp´ erature β ↓ 0, les interactions inter-mol´ eculaires disparaissent, et la formation cin´ etique des “macro-mol´ ecules” se r´ eduit `
a une
´ evolution libre et chaotique. On repr´ esente cette ´ evolution par la donn´ ee d’une
chaˆ ıne de Markov en ´ evolution libre dans E
n+1 ,de loi initiale η
0 , et de transitions M
n
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P((X
0 , . . . , X
n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η
0 (dx 0 )M
1 (x 0 , dx 1 ) . . . M
n (x n−1 , dx n )
La formation cin´ etique de macro-mol´ ecules li´ ees ` a des potentiels d’interaction G n peut se repr´ esenter par une mesure de Feynman-Kac
1
Z β,n
n
p=0
G p (x 0 , . . . , x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
Pour les potentiels d’interaction exponentiels (8.42), cette mesure s’exprime
sous la forme d’une mesure de Boltzmann-Gibbs
1
Z β,n
exp
−β
n
p=0
V p (x 0 , . . . , x n )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
` a valeurs dans un espace d’´ etat E
muni d’une m´ etrique d. Le param` etre de
longueur n repr´ esente le degr´ e de polym´ erisation entre les diff´ erents monˆ omes
X
p , 0 ≤ p ≤ n.
Ces derniers sont connect´ es deux ` a deux par des liaisons chimiques. Les
formations cin´ etiques de ces macro-mol´ ecules conduisent ` a des agencements
chimiques, et `
a des formes g´ eom´ etriques dict´ ees par un potentiel d’´ energie
G n (X n ) = G n (X
0 , . . . , X
n )
mesurant les degr´ es d’interaction `
a chaque ´ etape de la polym´ erisation
X n−1 = (X
0 , . . . , X
n−1 ) X n = (X
0 , . . . , X
n )
Ces potentiels d’interaction sont le plus souvent de la forme
G n (x 0 , . . . , x n ) = exp (−βV n (x 0 , . . . , x n ))
(8.42)
Le param` etre β ∈ R + repr´ esente l’inverse de la temp´ erature du solvant. Les
fonctions d’´ energie V n (x 0 , . . . , x n ) repr´ esentent les forces d’attraction, ou de
r´ epulsion physico-chimique de chaque polym´ erisation.
A basse temp´ erature β ↑ ∞, les interactions entre monˆ omes `
a longue ou
courte distance sont g´ en´ eralement de nature soit r´ epulsive, soit attractive. On
mod´ elise ces situations par des effets d’inclusions, ou d’exclusions volumiques,
de sorte ` a ce que les monˆ omes subissent des forces d’exclusions ou d’attractions.
A haute temp´ erature β ↓ 0, les interactions inter-mol´ eculaires disparaissent, et la formation cin´ etique des “macro-mol´ ecules” se r´ eduit `
a une
´ evolution libre et chaotique. On repr´ esente cette ´ evolution par la donn´ ee d’une
chaˆ ıne de Markov en ´ evolution libre dans E
n+1 ,de loi initiale η
0 , et de transitions M
n
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P((X
0 , . . . , X
n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η
0 (dx 0 )M
1 (x 0 , dx 1 ) . . . M
n (x n−1 , dx n )
La formation cin´ etique de macro-mol´ ecules li´ ees ` a des potentiels d’interaction G n peut se repr´ esenter par une mesure de Feynman-Kac
1
Z β,n
n
p=0
G p (x 0 , . . . , x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
Pour les potentiels d’interaction exponentiels (8.42), cette mesure s’exprime
sous la forme d’une mesure de Boltzmann-Gibbs
1
Z β,n
exp
−β
n
p=0
V p (x 0 , . . . , x n )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))