8.6 Trois illustrations
257
Dans le mˆ eme registre, mais dans le cadre trajectoriel examin´ e ci-dessus, le
choix des fonctions potentiel
G n (X
0 , . . . , X
n ) = 1 A (X
n ) avec A ⊂ E
conduit aux lois conditionnelles des trajectoires restreintes `
a l’ensemble A
η n = Loi((X
0 , . . . , X
n ) | X
0 ∈ A, . . . , X
n−1 ∈ A)
Il existe de nombreuses variantes, et divers raffinements de ces mod` eles
de Markov restreints. L’id´ ee suivante m’a ´ et´ e communiqu´ ee par F. Le Gland,
directeur de recherches `
a l’Irisa de Rennes. Dans certains cas, la contrainte
X k ∈ A k portant sur l’´ etat X k de la chaˆ ıne de Markov doit ˆ etre remplac´ ee
par une contrainte du type (X k−1 , X k ) ∈ B k , o` u B k ⊂ E k−1 × E k , portant sur
la transition entre les deux ´ etats successifs X k−1 et X k . Par exemple, pour
mod´ eliser le d´ eplacement d’un mobile (robot mobile, utilisateur humain ou
humano¨ ıde, etc.) ` a l’int´ erieur d’un bˆ atiment, il faut tenir compte que certaines
transitions de X k−1 ` a X k sont impossibles, mˆ eme si s´ epar´ ement les positions
X k−1 et X k sont admissibles : c’est en particulier le cas si le segment reliant
X k−1 ` a X k rencontre un obstacle (typiquement, une cloison int´ erieure).
D’un point de vue math´ ematique, pour prendre en compte ces mod` eles il
suffit simplement de consid´ erer une nouvelle chaˆ ıne de Markov form´ ee par les
transitions entre deux ´ etats successifs de la chaˆ ıne de Markov originale, et on
se ram` ene au cas pr´ ec´ edent.
Pour prendre en compte automatiquement la contrainte due ` a la pr´ esence
d’obstacles, une autre approche consiste `
a consid´ erer un mod` ele de Markov
simplifi´ e, ` a valeurs dans un espace d’´ etat hybride : dans ce mod` ele, le mobile se d´ eplace sur un graphe repr´ esentant sch´ ematiquement les couloirs du
bˆ atiment et les diff´ erents embranchements permettant de passer d’une pi` ece `
a
l’autre, avec un mod` ele de d´ eplacement markovien particulier, de type marche
al´ eatoire sur chaque ar` ete du graphe, et avec un choix al´ eatoire entre les
diff´ erents embranchements possibles ` a chaque nœud du graphe.
8.6.2 Polym` eres dirig´ es
En biologie, et en chimie industrielle, les mesures de Feynman-Kac permettent de mod´ eliser des formations cin´ etiques de chaˆ ınes de polym` eres et de
macro-mol´ ecules dans un solvant.
Un polym` ere de longueur n peut s’interpr´ eter comme une suite de variables
al´ eatoires
X n = (X
0 , . . . , X
n ) ∈ E n = E
× . . . × E
(n+1)−termes
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Dans le mˆ eme registre, mais dans le cadre trajectoriel examin´ e ci-dessus, le
choix des fonctions potentiel
G n (X
0 , . . . , X
n ) = 1 A (X
n ) avec A ⊂ E
conduit aux lois conditionnelles des trajectoires restreintes `
a l’ensemble A
η n = Loi((X
0 , . . . , X
n ) | X
0 ∈ A, . . . , X
n−1 ∈ A)
Il existe de nombreuses variantes, et divers raffinements de ces mod` eles
de Markov restreints. L’id´ ee suivante m’a ´ et´ e communiqu´ ee par F. Le Gland,
directeur de recherches `
a l’Irisa de Rennes. Dans certains cas, la contrainte
X k ∈ A k portant sur l’´ etat X k de la chaˆ ıne de Markov doit ˆ etre remplac´ ee
par une contrainte du type (X k−1 , X k ) ∈ B k , o` u B k ⊂ E k−1 × E k , portant sur
la transition entre les deux ´ etats successifs X k−1 et X k . Par exemple, pour
mod´ eliser le d´ eplacement d’un mobile (robot mobile, utilisateur humain ou
humano¨ ıde, etc.) ` a l’int´ erieur d’un bˆ atiment, il faut tenir compte que certaines
transitions de X k−1 ` a X k sont impossibles, mˆ eme si s´ epar´ ement les positions
X k−1 et X k sont admissibles : c’est en particulier le cas si le segment reliant
X k−1 ` a X k rencontre un obstacle (typiquement, une cloison int´ erieure).
D’un point de vue math´ ematique, pour prendre en compte ces mod` eles il
suffit simplement de consid´ erer une nouvelle chaˆ ıne de Markov form´ ee par les
transitions entre deux ´ etats successifs de la chaˆ ıne de Markov originale, et on
se ram` ene au cas pr´ ec´ edent.
Pour prendre en compte automatiquement la contrainte due ` a la pr´ esence
d’obstacles, une autre approche consiste `
a consid´ erer un mod` ele de Markov
simplifi´ e, ` a valeurs dans un espace d’´ etat hybride : dans ce mod` ele, le mobile se d´ eplace sur un graphe repr´ esentant sch´ ematiquement les couloirs du
bˆ atiment et les diff´ erents embranchements permettant de passer d’une pi` ece `
a
l’autre, avec un mod` ele de d´ eplacement markovien particulier, de type marche
al´ eatoire sur chaque ar` ete du graphe, et avec un choix al´ eatoire entre les
diff´ erents embranchements possibles ` a chaque nœud du graphe.
8.6.2 Polym` eres dirig´ es
En biologie, et en chimie industrielle, les mesures de Feynman-Kac permettent de mod´ eliser des formations cin´ etiques de chaˆ ınes de polym` eres et de
macro-mol´ ecules dans un solvant.
Un polym` ere de longueur n peut s’interpr´ eter comme une suite de variables
al´ eatoires
X n = (X
0 , . . . , X
n ) ∈ E n = E
× . . . × E
(n+1)−termes