8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives
255
Le semigroupe de la chaˆ ıne de Markov X n est l’op´ erateur int´ egral
P n+1 (x, dy) donn´ e pour toute fonction test f n sur E n = R
d , et pour tout
point de d´ epart x ∈ R
d du processus, par la formule int´ egrale suivante
P n+1 (f n+1 )(x) := E (f n+1 (X n+1 ) | X 0 = x) = E (f (X n+1 (x)))
Sous certaines hypoth` eses de r´ egularit´ e, pour toute fonction d´ erivable f
sur R
d nous avons
∂P n+1 (f )
∂x j
(x) = E
⎛
⎝
1≤i≤d
∂f
∂x i (X n+1 (x))
∂X
i
n+1
∂x j (x)
⎞
⎠
(8.39)
En termes de matrices, la formule de d´ erivation du semigroupe s’exprime
sous la forme suivante
∇P n+1 (f n+1 )(x) = E (∇f n+1 (X n+1 ) V n+1 | X 0 = x)
(8.40)
avec
V n+1 :=
0≤p≤n
A p (X p )
Dans la formule pr´ ec´ edente, A n d´ esigne la matrice jacobienne des transitions
locales du processus X n d´ ecrite en (8.37).
L’hypoth` ese de r´ egularit´ e introduite en (8.32), s’exprime sous la forme
suivante
∀n ≥ 0, ∀u ∈ S
d−1 , ∀x n ∈ E n , ∀w n ∈ R
d
A n (x n , w n ) u > 0
Sous cette hypoth` ese, nous avons la formule multiplicative
∇f n+1 (X n+1 ) V n+1 U 0 = [∇f n+1 (X n+1 ) U n+1 ]
0≤p≤n
A p (X p ) U p
avec la chaˆ ıne de Markov sur S
d−1 d´ efinie par les ´ equations
U n+1 = A n (X n )U n /A n (X n )U n = V n+1 U 0 /V n+1 U 0
En choisissant un point de d´ epart U 0 = u 0 sur la sph` ere unit´ e, on d´ emontre
ais´ ement une repr´ esentation du gradient de semigroupes markoviens en termes
de formules de Feynman-Kac non commutatives
255
Le semigroupe de la chaˆ ıne de Markov X n est l’op´ erateur int´ egral
P n+1 (x, dy) donn´ e pour toute fonction test f n sur E n = R
d , et pour tout
point de d´ epart x ∈ R
d du processus, par la formule int´ egrale suivante
P n+1 (f n+1 )(x) := E (f n+1 (X n+1 ) | X 0 = x) = E (f (X n+1 (x)))
Sous certaines hypoth` eses de r´ egularit´ e, pour toute fonction d´ erivable f
sur R
d nous avons
∂P n+1 (f )
∂x j
(x) = E
⎛
⎝
1≤i≤d
∂f
∂x i (X n+1 (x))
∂X
i
n+1
∂x j (x)
⎞
⎠
(8.39)
En termes de matrices, la formule de d´ erivation du semigroupe s’exprime
sous la forme suivante
∇P n+1 (f n+1 )(x) = E (∇f n+1 (X n+1 ) V n+1 | X 0 = x)
(8.40)
avec
V n+1 :=
0≤p≤n
A p (X p )
Dans la formule pr´ ec´ edente, A n d´ esigne la matrice jacobienne des transitions
locales du processus X n d´ ecrite en (8.37).
L’hypoth` ese de r´ egularit´ e introduite en (8.32), s’exprime sous la forme
suivante
∀n ≥ 0, ∀u ∈ S
d−1 , ∀x n ∈ E n , ∀w n ∈ R
d
A n (x n , w n ) u > 0
Sous cette hypoth` ese, nous avons la formule multiplicative
∇f n+1 (X n+1 ) V n+1 U 0 = [∇f n+1 (X n+1 ) U n+1 ]
0≤p≤n
A p (X p ) U p
avec la chaˆ ıne de Markov sur S
d−1 d´ efinie par les ´ equations
U n+1 = A n (X n )U n /A n (X n )U n = V n+1 U 0 /V n+1 U 0
En choisissant un point de d´ epart U 0 = u 0 sur la sph` ere unit´ e, on d´ emontre
ais´ ement une repr´ esentation du gradient de semigroupes markoviens en termes
de formules de Feynman-Kac non commutatives