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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
On notera A n = (A
(i,j)
n
) 1≤i,j≤d les matrices jacobiennes des fonctions F n ,
autrement dit les matrices al´ eatoires de R
(d×d) dont l’´ el´ ement de la i-i` eme
ligne et de la j-i` eme colonne donn´ e par
A
(i,j)
n
(x) =
∂F
i
n
∂x j (x) =
∂F
i
n (., W n )
∂x j
(x) := A
(i,j)
n
(x, W n )
(8.37)
Avec ces notations, l’´ equation (8.36) s’exprime sous la forme matricielle
suivante
V n+1 (x) = A n (X n (x)) V n (x) :=
n
p=0
A p (X p (x))
(8.38)
avec le produit non commutatif
n
p=0 A p des matrices A p prises dans l’ordre
d´ ecroissant A n , A n−1 ,. . . , A 0 .
Terminons cette section avec quelques remarques importantes :
Ces produits de matrices al´ eatoires peuvent ˆ etre calcul´ es en ligne pour
des syst` emes ´ evoluant dans des espaces de dimension d raisonnable. Dans le
cas contraire, on pourra utiliser les interpr´ etations de produits de matrices
al´ eatoires en terme de mesures de Feynman-Kac d´ evelopp´ ees dans la section 8.2.1.
En utilisant les vecteurs unitaires u
i introduits en (8.31), le calcul des
entr´ ees moyennes
V
(i,j)
n
(x) =
u
i
E
n
p=0
A p (X p (x))
u
j = E
u
i
n
p=0
A p (X p (x)) u
j
peut s’effectuer en utilisant les mod` eles stochastiques d´ evelopp´ es dans la section 8.5.1, et dans la section 8.5.2.
Enfin, dans la section 8.5.4, nous utiliserons ces processus tangents pour
exprimer les gradients de semigroupes markoviens en termes des mesures
Feynman-Kac vectorielles d´ ecrites dans la section 8.5.1.
8.5.4 Gradient de semigroupes
Les processus stochastiques tangents, et les mod` eles non commutatifs
d´ ecrits respectivement dans la section 8.5.3, et dans la section 8.5.1, offrent
un cadre math´ ematique naturel pour l’analyse et le calcul de gradient de semigroupes markoviens.
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
On notera A n = (A
(i,j)
n
) 1≤i,j≤d les matrices jacobiennes des fonctions F n ,
autrement dit les matrices al´ eatoires de R
(d×d) dont l’´ el´ ement de la i-i` eme
ligne et de la j-i` eme colonne donn´ e par
A
(i,j)
n
(x) =
∂F
i
n
∂x j (x) =
∂F
i
n (., W n )
∂x j
(x) := A
(i,j)
n
(x, W n )
(8.37)
Avec ces notations, l’´ equation (8.36) s’exprime sous la forme matricielle
suivante
V n+1 (x) = A n (X n (x)) V n (x) :=
n
p=0
A p (X p (x))
(8.38)
avec le produit non commutatif
n
p=0 A p des matrices A p prises dans l’ordre
d´ ecroissant A n , A n−1 ,. . . , A 0 .
Terminons cette section avec quelques remarques importantes :
Ces produits de matrices al´ eatoires peuvent ˆ etre calcul´ es en ligne pour
des syst` emes ´ evoluant dans des espaces de dimension d raisonnable. Dans le
cas contraire, on pourra utiliser les interpr´ etations de produits de matrices
al´ eatoires en terme de mesures de Feynman-Kac d´ evelopp´ ees dans la section 8.2.1.
En utilisant les vecteurs unitaires u
i introduits en (8.31), le calcul des
entr´ ees moyennes
V
(i,j)
n
(x) =
u
i
E
n
p=0
A p (X p (x))
u
j = E
u
i
n
p=0
A p (X p (x)) u
j
peut s’effectuer en utilisant les mod` eles stochastiques d´ evelopp´ es dans la section 8.5.1, et dans la section 8.5.2.
Enfin, dans la section 8.5.4, nous utiliserons ces processus tangents pour
exprimer les gradients de semigroupes markoviens en termes des mesures
Feynman-Kac vectorielles d´ ecrites dans la section 8.5.1.
8.5.4 Gradient de semigroupes
Les processus stochastiques tangents, et les mod` eles non commutatifs
d´ ecrits respectivement dans la section 8.5.3, et dans la section 8.5.1, offrent
un cadre math´ ematique naturel pour l’analyse et le calcul de gradient de semigroupes markoviens.