8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives
253
nouvelle position ξ
i
n+1 =
X
i
n+1 , U
i
n+1
. Le point X
i
n+1 est choisi en simulant
une transition de la chaˆ ıne X n X n+1 partant de la premi` ere coordonn´ ee
X
i
n du point s´ electionn´ e
ξ
i
n . La coordonn´ ee U
i
n+1 du point ξ
i
n+1 sur la sph` ere
est simplement donn´ ee par la formule de projection suivante
U
i
n+1 = G n (
X
i
n )
U
i
n /G n (
X
i
n )
U
i
n
8.5.3 Processus stochastiques tangents
On note X n une chaˆ ıne de Markov sur R
d donn´ ee par des fonctions it´ er´ ees
al´ eatoires
X n+1 := F n (X n ) = (F n ◦ F n−1 ◦ · · · ◦ F 0 )(X 0 )
(8.34)
Dans la formule pr´ ec´ edent, F n d´ esigne une suite de fonctions al´ eatoires
d´ erivables de la forme
F n (x) = F n (x, W n )
(8.35)
avec
F n : (x, w) ∈ R
d+d
→ F n (x, w) ∈ R
d
Les variables al´ eatoires W n seront suppos´ ees ind´ ependantes `
a valeurs dans R
d
,
pour un certain d
≥ 1. Pour simplifier la pr´ esentation, on notera (X n (x)) n≥0
la solution de l’´ equation
X n+1 (x) = F n (X n (x))
avec la condition initiale X 0 (x) = x.
Par construction, pour chaque couple d’indices 1 ≤ i, j ≤ d, et pour tout
point initial x ∈ R
d , on d´ emontre ais´ ement l’´ equation variationnelle du premier ordre
∂X
i
n+1
∂x j (x) =
1≤k≤d
∂F
i
n
∂x k (X n (x))
∂X
k
n
∂x j (x)
(8.36)
Le processus matriciel V n = (V
(i,j)
n
) 1≤i,j≤d dont l’´ el´ ement de la i-i` eme ligne
et de la j-i` eme colonne est donn´ e par
V
(i,j)
n
(x) =
∂X
i
n
∂x j (x)
est appel´ e processus tangent de la chaˆ ıne de Markov X n .