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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
8.5.2 Interpr´ etations particulaires
Les formules (8.33) d´ efinissent clairement des flots de mesures de FeynmanKac associ´ ees au processus de Markov
X n := (X n , U n ) ∈ E n :=
E n × S
d−1
et aux fonctions potentiels
G n (X n ) = G n (X n )U n
Ces mesures non normalis´ ees sont donn´ ees pour chaque fonction mesurable
et born´ ee f n sur E n par la formule
γ n (f n ) := E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
Les interpr´ etations particulaires de ces mesures ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans
la section 8.3. Ces techniques de simulation s’expriment en terme d’une dynamique de population g´ en´ etique (8.16). Les mutations des individus sont
dict´ ees par les transitions de probabilit´ es du processus de Markov X n , les
s´ elections des individus s’expriment en fonction de la fonction potentiel G n .
Plus formellement, on initialise le syst` eme de particules en choisissant N
individus ind´ ependants
∀1 ≤ i ≤ N
ξ
i
0 =
X
i
0 , U
i
0
=
X
i
0 , u 0
∈ E 0 =
E 0 × S
d−1
o` u X
i
0 d´ esignent N points choisis au hasard dans E 0 selon la loi de la variable
initiale X 0 . Les populations d’individus ξ n = (ξ
i
n ) 1≤i≤N , et
ξ n = (
ξ
i
n ) 1≤i≤N ,
apr` es la n-i` eme mutation, et la n-i` eme s´ election, sont donn´ ees par les couples
de points
∀1 ≤ i ≤ N
ξ
i
n =
X
i
n , U
i
n
ξ
i
n =
X
i
n ,
U
i
n
∈ E n =
E n × S
d−1
Les ´ etapes de s´ election et de mutation de l’algorithme g´ en´ etique
ξ n ∈ E
N
n
s´ election
− − − − − − − − − − − − −→
ξ n ∈ E
N
n
mutation
− − − − − − − − − − − −−→ ξ n+1 ∈ E
N
n+1
sont respectivement d´ etermin´ ees par la fonction potentiel de chaque individu
G n
X
i
n , U
i
n
= G n (X
i
n )U
i
n
et par les transitions de probabilit´ es de la chaˆ ıne de Markov X n X n+1 .
Autrement dit, chaque individu s´ electionn´ e
ξ
i
n =
X
i
n ,
U
i
n
mute vers une