8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives
251
U n+1 =
G n (X n ) U n
G n (X n )U n
=
0≤p≤n G p (X p )
U 0
0≤p≤n G p (X p )
U 0
∈ S
d−1
Enfin, une simple r´ ecurrence sur le param` etre n permet de v´ erifier la formule multiplicative
⎡
⎣
0≤p≤n
G p (X p )
⎤
⎦ U 0
= G n (X n )U n
⎡
⎣
0≤p G p (X p )
⎤
⎦ U 0
=
0≤p≤n
G p (X p )U p
En r´ esum´ e, le couple
X n := (X n , U n ) ∈ E n :=
E n × S
d−1
est une chaˆ ıne de Markov. La formule multiplicative pr´ ec´ edente repr´ esente les
vraisemblances
0≤p≤n
G p (X p )U p
d’une trajectoire historique al´ eatoire
X n =
X 0 , . . . , X n
∈ E n =
E 0 × . . . × X n
De plus, pour tout vecteur initial U 0 = u 0 ∈ S
d−1 , nous avons la formule de
Feynman-Kac suivante
γ n (f n ) u 0 = E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
(8.33)
avec les fonctions scalaires (f n , G n ) donn´ ees par
f n (X n ) = f n (X n ) U n et G n (X n ) = G n (X n )U n