250
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
γ n (f n )
i = γ n (f n ) u
i
= E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p
⎞
⎠ u
i = E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p
i
⎞
⎠
Afin de simplifier la pr´ esentation, nous supposerons que l’on a
∀n ≥ 0, ∀u ∈ S
d−1 , ∀x n ∈ E n G n (x n ) u > 0
(8.32)
Cette hypoth` ese de r´ egularit´ e nous permet d’introduire la chaˆ ıne de Markov
sur la sph` ere
U 0 ∈ S
d−1
→ U 1 =
G 0 (X 0 ) U 0
G 0 (X 0 )U 0
∈ S
d−1
→ U 2 =
G 1 (X 1 ) U 1
G 1 (X 1 )U 1
∈ S
d−1
→ . . .
Une r´ ealisation de cette marche al´ eatoire sur la sph` ere q
it´ erations
est
uatre
illustr´ ee dans la figure 8.3.
Fig. 8.3. Marche al´ eatoire U k sur la sph` ere
Il est facile de v´ erifier la formule r´ ecursive suivante
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
γ n (f n )
i = γ n (f n ) u
i
= E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p
⎞
⎠ u
i = E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p
i
⎞
⎠
Afin de simplifier la pr´ esentation, nous supposerons que l’on a
∀n ≥ 0, ∀u ∈ S
d−1 , ∀x n ∈ E n G n (x n ) u > 0
(8.32)
Cette hypoth` ese de r´ egularit´ e nous permet d’introduire la chaˆ ıne de Markov
sur la sph` ere
U 0 ∈ S
d−1
→ U 1 =
G 0 (X 0 ) U 0
G 0 (X 0 )U 0
∈ S
d−1
→ U 2 =
G 1 (X 1 ) U 1
G 1 (X 1 )U 1
∈ S
d−1
→ . . .
Une r´ ealisation de cette marche al´ eatoire sur la sph` ere q
it´ erations
est
uatre
illustr´ ee dans la figure 8.3.
Fig. 8.3. Marche al´ eatoire U k sur la sph` ere
Il est facile de v´ erifier la formule r´ ecursive suivante