8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives
249
u
i =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
0
1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
← i-` eme ligne
(8.31)
Avec ces notations, les coordonn´ ees du vecteur moyen E(X) sont donn´ ees par
les formules vectorielles suivantes
E(X)
i = E(X
i ) = E(X u
i ) = E(X) u
i
Plus g´ en´ eralement, la moyenne d’une matrice al´ eatoire X = (X
j
i ) 1≤i≤d1,1≤j≤d2
` a d 1 lignes et d 2 colonnes, est la matrice des moyennes des variables composant
la matrice X
E (X) =
E(X)
j
i
1≤i≤d1,1≤j≤d2
=
E(X
j
i )
1≤i≤d1,1≤j≤d2
Les mod` eles de Feynman-Kac non commutatifs sont des mesures vectorielles d´ efinies ` a partir de fonctions potentiels G n = (G
i,j
n ) 1≤i,j≤d sur un espace mesurable E n , `
a valeurs dans l’espace des matrices carr´ ees r´ eelles R
d×d ,
pour un certain d ≥ 1. Ces mesures vectorielles non normalis´ ees sont d´ efinies
pour toute fonction f n = (f
1
n , . . . , f
d
n ) mesurable et born´ ee de E n vers R
d par
la formule suivante
γ n (f n ) = E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
Dans la formule pr´ ec´ edente, X n d´ esigne une chaˆ ıne de markov sur l’espace E n ,
et le produit
0≤p de gauche `
a droite
0≤p G p (X p ) = G n−1 (X n−1 ) . . . G 1 (X 1 )G 0 (X 0 )
Autrement dit, nous avons
γ n (f n ) =
γ n (f n )
1 , . . . , γ n (f n )
d
avec chaque composante d’indice i donn´ ee par