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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Ces mesures de sensibilit´ e de premier et de second ordre (∇Γ
(θ)
n , ∇
2 Γ
(θ)
n )
peuvent ˆ etre calcul´ ees en utilisant les approximations particulaires non
biais´ ees des lois Γ n sur les espaces de trajectoires d´ ecrites en (8.28).
∇ N Γ
(θ)
n (f n ) := Γ
(θ,N )
n
(f n Λ
(θ)
n )
∇
2
N Γ
(θ)
n (f n ) = Γ
(θ,N )
n
f n (∇L
(θ)
n )
(∇L
(θ)
n ) + f n ∇
2
L
(θ)
n
En utilisant les processus historiques et les mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques
d´ ecrits dans la section 8.3.2, les mesures γ n = Γ n sont estim´ ees par les mesures
d’occupation non normalis´ ees γ
(θ,N )
n
d’arbres g´ en´ ealogiques.
Sur ces espaces de trajectoires, les mesures de sensibilit´ e de premier et de
second ordre
(∇Γ
(θ)
n , ∇
2 Γ
(θ)
n ) = (∇γ
(θ)
n , ∇
2 γ
(θ)
n )
sont calcul´ ees ` a partir des mod` eles suivants
∇ N γ
(θ)
n (f n ) := γ
(θ,N )
n
(f n Λ
(θ)
n )
∇
2
N γ
(θ)
n (f n ) = γ
(θ,N )
n
f n (∇L
(θ)
n )
(∇L
(θ)
n ) + f n ∇
2
L
(θ)
n
Dans la section 9.4, nous pr´ esenterons des mod` eles d’int´ egration des lois
Γ
(θ)
n , Q
(θ)
n
par rapport `
a une mesure de probabilit´ e μ(dθ) sur S.
8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives
8.5.1 Mesures vectorielles
La moyenne d’un vecteur al´ eatoire X = (X
1 , . . . , X
d ) est le vecteur des
moyennes des variables composant le vecteur X. Ainsi, nous avons
E (X) =
E(X
1 ), . . . , E(X
d )
=
E (X)
i
1≤i≤d
On notera . la norme euclidienne sur l’espace R
d , S
d−1 la sph` ere unit´ e
form´ ee des vecteurs u ∈ R
d , de norme u ≤ 1, et u
i le i-` eme vecteur coordonn´ ee de la sph` ere unit´ e S
d−1 d´ efini par le vecteur