8.4 Variantes et propri´ et´ es
247
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n ) :=
0≤p≤n
l
(θ)
p (x p−1 , x p )
Avec ces notations, nous avons
Γ
(θ)
n (f n ) =
En
f n (x 0 , . . . , x n ) e
L
(θ)
n (x0,...,xn) λ 0 (dx 0 ) . . . λ n (dx n )
On en d´ eduit pour chaque 1 ≤ i, j ≤ d
∂
∂θ i exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n ) =
⎡
⎣
0≤p≤n
∂
∂θ i l
(θ)
p (x p−1 , x p )
⎤
⎦ exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
=
∇L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
i
exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
∂
2
∂θ i ∂θ j exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
=
0≤p≤n
∂
2
∂θ i θ j l
(θ)
p (x p−1 , x p )
exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
+
0≤p≤n
∂
∂θ i l
(θ)
p (x p−1 , x p )
×
0≤p≤n
∂
∂θ j l
(θ)
p (x p−1 , x p )
× exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
=
∇
2
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
i,j
+
∇L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
i
∇L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
j
× exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
En r´ esum´ e, nous avons d´ emontr´ e les formules de d´ erivation suivantes
∇Γ
(θ)
n (f n ) = Γ
(θ)
n (f n ∇L
(θ)
n )
∇
2 Γ
(θ)
n (f n ) = Γ
(θ)
n
f n (∇L
(θ)
n )
(∇L
(θ)
n ) + f n ∇
2
L
(θ)
n
avec la fonctionnelle additive
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n ) :=
0≤p≤n
l
(θ)
p (x p−1 , x p )