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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
F : θ = (θ
i ) 1≤i≤d ∈ R
d
→ F (θ) ∈ R
sont donn´ es respectivement par le vecteur
∇F = ((∇F ) 1 , . . . , (∇F ) d ) =
∂F
∂θ 1 ,
∂F
∂θ 2 , . . . ,
∂F
∂θ d
et par la matrice sym´ etrique ∇
2 F =
(∇
2 F ) i,j
1≤i,j≤d
donn´ ee par
∇
2 F =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂
2 F
∂ 2 θ 1
∂
2 F
∂θ 1 ∂θ 2 · · ·
∂
2 F
∂θ 1 ∂θ d
∂
2 F
∂θ 2 ∂θ 1
∂
2 F
∂ 2 ∂θ 2 · · ·
∂
2 F
∂θ 2 ∂θ d
. . .
. . .
. . .
∂
2 F
∂θ d ∂θ 1
∂
2 F
∂θ d ∂θ 2 · · ·
∂
2 F
∂ 2 θ d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Par la suite, nous supposerons que les lois initiales η
(θ)
0
et les transitions
markoviennes M
(θ)
n sont ` a densit´ e H
(θ)
n par rapport `
a une loi de r´ ef´ erence λ n .
Plus formellement, nous avons
P
X
(θ)
n ∈ dx n | X
(θ)
n−1 = x n−1
= M
(θ)
n (x n−1 , dx n )
= H
(θ)
n (x n−1 , x n ) λ n (dx n )
et
P
X
(θ)
0 ∈ dx 0
= η
(θ)
0 (dx 0 ) = H
(θ)
0 (x 0 ) λ 0 (dx 0 )
Enfin, nous supposerons que le gradient et le Hessien des fonctions logarithmes
θ → l
(θ)
n (x n−1 , x n ) := log
G
(θ)
n−1 (x n−1 )H
(θ)
n (x n−1 , x n )
sont bien d´ efinis pour toute transition (x n−1 , x n ).
Γ
(θ)
n (f n ) =
En
f n (x 0 , . . . , x n )
⎧
⎨
⎩
0≤p≤n
G
(θ)
p−1 (x p−1 )H
(θ)
p (x p−1 , x p )
⎫
⎬
⎭
× λ 0 (dx 0 ) . . . λ n (dx n )
avec les conventions pour p = 0
G
(θ)
−1 (x −1 ) = 1 et H
(θ)
0 (x −1 , x 0 ) = H
(θ)
0 (x 0 )
Il reste ` a noter la formule exponentielle suivante
0≤p≤n
G
(θ)
p−1 (x p−1 )H
(θ)
p (x p−1 , x p )
= exp L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
avec la fonctionnelle additive