8.4 Variantes et propri´ et´ es
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En traitement du signal, le param` etre θ repr´ esente des param` etres inconnus du syst` eme stochastique signal-observation (X n , Y n ) qu’il convient
d’estimer au cours du temps, en fonction des observations d´ elivr´ ees par
les capteurs de mesures. Ces mod` eles stochastiques sont associ´ es ` a des param` etres cin´ etiques d’une cible, ou li´ es ` a la fonction du capteur de mesure.
Ils servent aussi ` a mod´ eliser des param` etres statistiques inconnus des perturbations des capteurs, ou ceux des bruits du signal ` a estimer.
En inf´ erence bay´ esienne, ces mod` eles de filtrage sont plus connus sous le
nom de chaˆ ınes de Markov cach´ ees. Dans le cadre d’espace d’´ etats finis, les
param` etres θ sont souvent associ´ es aux transitions de la chaˆ ıne partiellement
observ´ ee, ou aux fonctions de vraisemblance des observations. On rencontre
ces mod` eles de calibration statistique en math´ ematiques financi` eres, en bioinformatique, ou encore en imagerie, et en reconnaissance de la parole. Les
mod` eles de Feynman-Kac associ´ es ` a ces probl` emes d’estimation de chaˆ ınes
de Markov cach´ ees sont d´ ecrits en d´ etail dans la section 13.2.
En physique statistique, les mod` eles d’´ evolution de particules dans des
milieux absorbants peuvent ˆ etre associ´ es ` a des param` etres cin´ etiques, ou des
degr´ es de variations des taux d’absorption du mod` ele. Dans ce contexte, une
question importante est de calculer les lois conditionnelles des param` etres
statistiques, sachant que la particule n’a pas ´ et´ e absorb´ ee au cours du temps.
Une autre question est de calculer les param` etres les plus vraisemblables de
ces lois.
Ces mod` eles stochastiques peuvent aussi ˆ etre associ´ es `
a des mod` eles de
chaˆ ınes de Markov dans des milieux al´ eatoires, connus sous l’acronyme
MAMA dans la litt´ erature probabiliste. Dans ce contexte, le param` etre θ
repr´ esente les al´ eas du milieu dans lequel ´ evolue la chaˆ ıne.
En analyse de risque, ces mod` eles param´ etriques peuvent ˆ etre reli´ es ` a
des familles d’´ evolutions al´ eatoires d’un processus ´ evoluant dans un r´ egime
critique. Dans ce contexte, il convient d’estimer la loi conditionnelle du
param` etre al´ eatoire, sachant l’´ ev´ enement critique. Cette loi conditionnelle
caract´ erise toutes les variations de probabilit´ e d’occurrence de l’´ ev´ enement
critique en fonction des divers param` etres du mod` ele stochastique.
Dans cette section, nous analyserons les d´ eriv´ es de premier ordre et de
second ordre de ces mesures. On rappelle que le gradient ∇F et le Hessien
∇
2 F d’une fonction r´ eguli` ere
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En traitement du signal, le param` etre θ repr´ esente des param` etres inconnus du syst` eme stochastique signal-observation (X n , Y n ) qu’il convient
d’estimer au cours du temps, en fonction des observations d´ elivr´ ees par
les capteurs de mesures. Ces mod` eles stochastiques sont associ´ es ` a des param` etres cin´ etiques d’une cible, ou li´ es ` a la fonction du capteur de mesure.
Ils servent aussi ` a mod´ eliser des param` etres statistiques inconnus des perturbations des capteurs, ou ceux des bruits du signal ` a estimer.
En inf´ erence bay´ esienne, ces mod` eles de filtrage sont plus connus sous le
nom de chaˆ ınes de Markov cach´ ees. Dans le cadre d’espace d’´ etats finis, les
param` etres θ sont souvent associ´ es aux transitions de la chaˆ ıne partiellement
observ´ ee, ou aux fonctions de vraisemblance des observations. On rencontre
ces mod` eles de calibration statistique en math´ ematiques financi` eres, en bioinformatique, ou encore en imagerie, et en reconnaissance de la parole. Les
mod` eles de Feynman-Kac associ´ es ` a ces probl` emes d’estimation de chaˆ ınes
de Markov cach´ ees sont d´ ecrits en d´ etail dans la section 13.2.
En physique statistique, les mod` eles d’´ evolution de particules dans des
milieux absorbants peuvent ˆ etre associ´ es ` a des param` etres cin´ etiques, ou des
degr´ es de variations des taux d’absorption du mod` ele. Dans ce contexte, une
question importante est de calculer les lois conditionnelles des param` etres
statistiques, sachant que la particule n’a pas ´ et´ e absorb´ ee au cours du temps.
Une autre question est de calculer les param` etres les plus vraisemblables de
ces lois.
Ces mod` eles stochastiques peuvent aussi ˆ etre associ´ es `
a des mod` eles de
chaˆ ınes de Markov dans des milieux al´ eatoires, connus sous l’acronyme
MAMA dans la litt´ erature probabiliste. Dans ce contexte, le param` etre θ
repr´ esente les al´ eas du milieu dans lequel ´ evolue la chaˆ ıne.
En analyse de risque, ces mod` eles param´ etriques peuvent ˆ etre reli´ es ` a
des familles d’´ evolutions al´ eatoires d’un processus ´ evoluant dans un r´ egime
critique. Dans ce contexte, il convient d’estimer la loi conditionnelle du
param` etre al´ eatoire, sachant l’´ ev´ enement critique. Cette loi conditionnelle
caract´ erise toutes les variations de probabilit´ e d’occurrence de l’´ ev´ enement
critique en fonction des divers param` etres du mod` ele stochastique.
Dans cette section, nous analyserons les d´ eriv´ es de premier ordre et de
second ordre de ces mesures. On rappelle que le gradient ∇F et le Hessien
∇
2 F d’une fonction r´ eguli` ere