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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
1
N
N
i=1
δ (
ξ i
0,n ,...,
ξ i
n,n )
convergent vers les mesures de Feynman-Kac trajectorielles correspondantes
η n (f n ) =
E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n
p=0 G p (X
0 , . . . , X
p )
E
n
p=0 G p (X
0 , . . . , X
p )
8.4.3 Mesures de sensibilit´ e
Dans cette section, nous analysons des mod` eles de Feynman-Kac associ´ es `
a
un param` etre θ, ` a valeurs dans un espace mesurable S, muni d’une mesure de
probabilit´ e μ. En reprenant les notations introduites dans la section 8.1.2, ces
mod` eles sont d´ efinis en terme de triplets
η
(θ)
0 , G
(θ)
n , M
(θ)
n
de distributions
sur E 0 , de fonctions potentiels sur E n , et de transitions de probabilit´ es de
E n−1 vers E n , avec le param` etre θ en exposant.
Nous noterons
Γ
(θ)
n , Q
(θ)
n
les mesures de Feynman-Kac associ´ es aux familles d’objets
η
(θ)
0 , G
(θ)
n , M
(θ)
n
index´ ees par un param` etre
θ ∈ S = R
d
Pour ˆ etre plus pr´ ecis, pour toute fonction mesurable born´ ee f n sur l’espace
des trajectoires E n = (E 0 × . . . × E n ), nous avons
Q
(θ)
n (f n ) = Γ
(θ)
n (f n )/Γ
(θ)
n (1)
avec
Γ
(θ)
n (f n ) = E
⎛
⎝ f n (X
(θ)
0 , . . . , X
(θ)
n )
0≤p G
(θ)
p
X
(θ)
p
⎞
⎠
(8.30)
Dans la formule pr´ ec´ edente, X
(θ)
n d´ esigne un processus de Markov de transitions de probabilit´ es M
(θ)
n et de loi initiale η
(θ)
0 .
Ces mesures de Feynman-Kac abstraites d´ ecrites dans la section 9.4.1 permettent de mod´ eliser de nombreux probl` emes issus de la physique, ou des
sciences de l’ing´ enieur.