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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P ((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= P ((ξ 0 , . . . , ξ n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η
⊗N
0 (dx 0 )M(x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
Dans la formule ci-dessus, la mesure initiale η
⊗N
0
est la loi de N variables
al´ eatoires ind´ ependantes ξ
i
0 , 1 ≤ i ≤ N , de mˆ eme loi η 0 .
Nous laissons au lecteur la construction pr´ ecise de l’algorithme g´ en´ etique
particulaire associ´ e ` a ces nouvelles mesures. Dans ce contexte, chaque individu
repr´ esente une colonie d’individus dans un ˆ ılot. Les mutations des colonies sont
dict´ ees par les probabilit´ es de transition M n de la chaˆ ıne de Markov X n . Les
s´ elections entre ˆ ılots sont d´ etermin´ ees par les potentiels d’adaptation G n .
Dans la figure 8.2, nous avons repr´ esent´ e l’´ evolution d’un mod` ele avec 6
ˆ ılots, chacun compos´ e d’une population de N = 3 individus, sur une p´ eriode
de temps n = 3. Le cercle hachur´ e en rouge fournit un zoom sur les trois
mutations des trois ˆ ılots s´ electionn´ es. Chaque mutation d’ˆ ılot correspond ` a une
double ´ etape de s´ election-mutation des individus composant sa population.
Ces trois transitions g´ en´ etiques sur les trois ˆ ılots sont repr´ esent´ ees dans les
trois cercles de droites.
Fig. 8.2. Mod` ele `
a 6 ˆ ılots de 3 individus sur 3 it´ erations
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P ((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= P ((ξ 0 , . . . , ξ n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η
⊗N
0 (dx 0 )M(x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
Dans la formule ci-dessus, la mesure initiale η
⊗N
0
est la loi de N variables
al´ eatoires ind´ ependantes ξ
i
0 , 1 ≤ i ≤ N , de mˆ eme loi η 0 .
Nous laissons au lecteur la construction pr´ ecise de l’algorithme g´ en´ etique
particulaire associ´ e ` a ces nouvelles mesures. Dans ce contexte, chaque individu
repr´ esente une colonie d’individus dans un ˆ ılot. Les mutations des colonies sont
dict´ ees par les probabilit´ es de transition M n de la chaˆ ıne de Markov X n . Les
s´ elections entre ˆ ılots sont d´ etermin´ ees par les potentiels d’adaptation G n .
Dans la figure 8.2, nous avons repr´ esent´ e l’´ evolution d’un mod` ele avec 6
ˆ ılots, chacun compos´ e d’une population de N = 3 individus, sur une p´ eriode
de temps n = 3. Le cercle hachur´ e en rouge fournit un zoom sur les trois
mutations des trois ˆ ılots s´ electionn´ es. Chaque mutation d’ˆ ılot correspond ` a une
double ´ etape de s´ election-mutation des individus composant sa population.
Ces trois transitions g´ en´ etiques sur les trois ˆ ılots sont repr´ esent´ ees dans les
trois cercles de droites.
Fig. 8.2. Mod` ele `
a 6 ˆ ılots de 3 individus sur 3 it´ erations