8.4 Variantes et propri´ et´ es
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Les mod` eles math´ ematiques formalis´ es de ces ´ evolutions g´ en´ etiques d’ˆ ılots
sont fond´ es sur la propri´ et´ e non biais´ ee des mesures particulaires d´ enormalis´ ees
d´ ecrites dans la formule (8.27). Pour toute fonction f n sur l’espace des solutions, nous avons vu que
E
η
N
n (f n ) ×
n−1
p=0
η
N
p (G p )
= γ n (f n ) = E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
Cette formule peut s’´ ecrire sous la formule suivante
E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠ = E
⎛
⎝ F n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
(8.29)
avec le processus de Markov X n = (ξ
i
n ) 1≤i≤N sur les espaces produits E n =
E
N
n , et les fonctions F n et les fonctions potentiel G p d´ efinies par
F n (X n ) := η
N
n (f n ) =
1
N
N
i=1
f n (ξ
i
n ) et G p (X p ) := η
N
p (G p ) =
1
N
N
i=1
G p (ξ
i
p )
Le terme de droite dans la formule (8.29) a exactement la mˆ eme forme
que le terme de gauche. Cette formulation permet de d´ efinir des mesures
de Feynman-Kac associ´ ees `
a un processus de Markov de r´ ef´ erence X n =
(ξ
i
n ) 1≤i≤N et des fonctions potentiel G n li´ ees `
a la qualit´ e moyenne des composantes ξ
i
n de l’´ etat X n . Plus formellement, si l’on note M n les probabilit´ es de transition de la chaˆ ıne de Markov X n , ses mesures de FeynmanKac sont d´ efinies comme dans (8.2) en rempla¸ cant (f n , X n , M n , G n ) par
(F n , X n , M n , G n ).
Les mesures de Feynman-Kac associ´ ees `
a ces mod` eles sont des mesures de
probabilit´ es sur des espaces produits
E
N
n :=
E
N
0 × . . . × E
N
n
Si l’on note d(x 0 , . . . , x n ) le voisinage infinit´ esimal d’une trajectoire
(x 0 , . . . , x n ) ∈
E
N
0 × . . . × E
N
n
񃆾
ces mesures s’expriment sous la forme suivante
Q n (d(x 0 , . . . , x n )) =
1
Z n
n−1 𨐿
p=0
G p (x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec la loi des trajectoires de l’algorithme g´ en´ etique d´ ecrit en (8.16)