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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
1 ≤ i ≤ N , et 0 ≤ p ≤ N . Une fa¸ con naturelle de proc´ eder est d’identifier
les ´ etats (ξ
1
n , . . . , ξ
N
n ) ` a chaque instant n avec l’ensemble ordonn´ e d’indices
{1, . . . , N}. Dans cette interpr´ etation, les mesures d’occupations η
N
n et les
fonctions f n s’indentifient aux vecteurs ligne et colonne
η
N
n :=
1
N
, . . . ,
1
N
et f n :=
⎛
⎜
⎝
f n (ξ
1
n )
. . .
f n (ξ
N
n )
⎞
⎟
⎠
Les transitions M n,η N
n−1
sont aussi associ´ ees aux matrices (N × N ) suivantes
M n,η N
n−1
:=
⎛
⎜
⎝
M n,η N
n−1
(ξ
1
n , ξ
1
n−1 ) · · · M n,η N
n−1
(ξ
1
n , ξ
N
n−1 )
. . .
. . .
. . .
M n,η N
n−1
(ξ
N
n , ξ
1
n−1 ) · · · M n,η N
n−1
(ξ
N
n , ξ
N
n−1 )
⎞
⎟
⎠
(8.24)
avec pour entr´ ees (i, j), les nombres al´ eatoires
M n,η N
n−1
(ξ
i
n , ξ
j
n−1 ) =
G n−1 (ξ
j
n−1 )H n (ξ
j
n−1 , ξ
i
n )
N
k=1 G n−1 (ξ k
n−1 )H n (ξ k
n−1 , ξ i
n )
La figure 8.1 repr´ esente l’arbre g´ en´ ealogique complet de N = 7 individus.
Le graphe markovien ` a rebours est d´ ecrit sur les populations ancestrales ordonn´ ees par les indices.
Pour illustrer ces mod` eles, les Q n -integrales de fonctions additives normalis´ ees
f n (x 0 , . . . , x n ) =
1
n + 1
0≤p≤n
f p (x p )
(8.25)
sont donn´ ees par les formules matricielles suivantes
Q
N
n (f n ) =
1
n + 1
0≤p≤n
η
N
n M n,η N
n−1
M n−1,η N
n−2
. . . M p+1,η N
p
(f p )
8.3.4 Estimation des fonctions de partition
Est-il possible d’estimer les constantes de normalisation
γ n (1) = E
n−1
p=0
G p (X p )
et plus g´ en´ eralement les mesures de Feynman-Kac non normalis´ ees
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