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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
8.3.2 Mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques
Dans le cadre trajectoriel, nous avons vu que les algorithmes g´ en´ etiques
co¨ ıncident avec des mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques. Une description d´ etaill´ ee
des ´ etapes de s´ election et de mutation dans des espaces de chemins est donn´ ee
dans la section 2.2.4.
Plus formellement, les mod` eles d’´ evolutions d’arbres g´ en´ ealogiques correspondent aux interpr´ etations de type champ moyen de formules de FeynmanKac (8.4) associ´ ees au processus historique (8.3) d’une chaˆ ıne de Markov de
r´ ef´ erence X
n ` a valeurs dans des espaces E
n . Les r´ esultats de convergence
donn´ es pr´ ec´ edemment restent donc valables sans aucune modification.
Dans ce contexte, la loi d’une des lignes ancestrales apr` es l’´ etape de mutation
ξ
i
n =
ξ
i
0,n , ξ
i
1,n , . . . , ξ
i
n−1,n , ξ
i
n,n
∈ E
n := (E
0 × E
1 × . . . × E
n )
ainsi que leurs mesures d’occupation
η
N
n =
1
N
N
i=1
δ ξ i
n
=
1
N
N
i=1
δ (ξ i
0,n ,ξ i
1,n ,...,ξ i
n−1,n ,ξ i
n,n )
convergent vers les mesures de Feynman-Kac trajectorielles normalis´ ees
η n (f n ) =
E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n−1
p=0 G p (X
0 , . . . , X
p )
E
n−1
p=0 G p (X
0 , . . . , X
p )
Une repr´ esentation synth´ etique des arbres g´ en´ ealogiques complets et ancestraux de N = 7 individus est donn´ ee par la figure 2.5.
Lorsque les fonctions potentiels G p ne d´ ependent que du point terminal
G p (X
0 , . . . , X
p ) = G
p (X
p )
les mesures η n d´ ecrites ci-dessus co¨ ıncident avec les mesures de Feynman-Kac
Q
n (d(x
0 , . . . , x
n )) =
1
Z
n
⎧
⎨
⎩
0≤p
p (x
p )
⎫
⎬
⎭
P
n (d(x
0 , . . . , x
n ))
o` u P
n d´ esigne la loi des trajectoires du processus historique X n := (X
0 , . . . , X
n ).
L’arbre g´ en´ ealogique complet form´ e des populations courantes
ξ p,p =
ξ
i
p,p
1≤i≤N
de l’instant initial p = 0 `
a l’instant terminal p = n est un objet math´ ematique
plus complexe `
a analyser. Dans la section 8.3.3, nous utiliserons ce mod` ele
pour construire une estimation `
a rebours des lois trajectorielles.
Pour plus de d´ etails sur ces mod` eles stochastiques et leurs propri´ et´ es
lorsque N ↑ ∞, nous renvoyons le lecteur `
a l’article [52], ainsi qu’au chapitre
3 de l’ouvrage [36].
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
8.3.2 Mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques
Dans le cadre trajectoriel, nous avons vu que les algorithmes g´ en´ etiques
co¨ ıncident avec des mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques. Une description d´ etaill´ ee
des ´ etapes de s´ election et de mutation dans des espaces de chemins est donn´ ee
dans la section 2.2.4.
Plus formellement, les mod` eles d’´ evolutions d’arbres g´ en´ ealogiques correspondent aux interpr´ etations de type champ moyen de formules de FeynmanKac (8.4) associ´ ees au processus historique (8.3) d’une chaˆ ıne de Markov de
r´ ef´ erence X
n ` a valeurs dans des espaces E
n . Les r´ esultats de convergence
donn´ es pr´ ec´ edemment restent donc valables sans aucune modification.
Dans ce contexte, la loi d’une des lignes ancestrales apr` es l’´ etape de mutation
ξ
i
n =
ξ
i
0,n , ξ
i
1,n , . . . , ξ
i
n−1,n , ξ
i
n,n
∈ E
n := (E
0 × E
1 × . . . × E
n )
ainsi que leurs mesures d’occupation
η
N
n =
1
N
N
i=1
δ ξ i
n
=
1
N
N
i=1
δ (ξ i
0,n ,ξ i
1,n ,...,ξ i
n−1,n ,ξ i
n,n )
convergent vers les mesures de Feynman-Kac trajectorielles normalis´ ees
η n (f n ) =
E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n−1
p=0 G p (X
0 , . . . , X
p )
E
n−1
p=0 G p (X
0 , . . . , X
p )
Une repr´ esentation synth´ etique des arbres g´ en´ ealogiques complets et ancestraux de N = 7 individus est donn´ ee par la figure 2.5.
Lorsque les fonctions potentiels G p ne d´ ependent que du point terminal
G p (X
0 , . . . , X
p ) = G
p (X
p )
les mesures η n d´ ecrites ci-dessus co¨ ıncident avec les mesures de Feynman-Kac
Q
n (d(x
0 , . . . , x
n )) =
1
Z
n
⎧
⎨
⎩
0≤p
p (x
p )
⎫
⎬
⎭
P
n (d(x
0 , . . . , x
n ))
o` u P
n d´ esigne la loi des trajectoires du processus historique X n := (X
0 , . . . , X
n ).
L’arbre g´ en´ ealogique complet form´ e des populations courantes
ξ p,p =
ξ
i
p,p
1≤i≤N
de l’instant initial p = 0 `
a l’instant terminal p = n est un objet math´ ematique
plus complexe `
a analyser. Dans la section 8.3.3, nous utiliserons ce mod` ele
pour construire une estimation `
a rebours des lois trajectorielles.
Pour plus de d´ etails sur ces mod` eles stochastiques et leurs propri´ et´ es
lorsque N ↑ ∞, nous renvoyons le lecteur `
a l’article [52], ainsi qu’au chapitre
3 de l’ouvrage [36].