8.3 M´ ethodes de simulation particulaires
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Rempla¸ cons dans la construction de l’algorithme g´ en´ etique d´ ecrit ci-dessus
les objets
(G n , M n , X n , E n , η 0 ) par les objets corrig´ es (
G n ,
M n ,
X n ,
E n ,
η 0 )
introduits dans la section 8.1.3. Autrement dit, les mutations et les s´ elections
sont d´ etermin´ ees ` a chaque instant n respectivement par les transitions
de probabilit´ es
M n , et par les fonctions potentiel
G n . Les individus
initiaux forment une suite de v.a. i.i.d. de mˆ eme loi
η 0 .
En accord avec la propri´ et´ e des mesures corrig´ ees
η n d´ ecrite ` a la page 227,
tous les r´ esultats de convergence d´ ecrits plus haut sont valables en rempla¸ cant η n par
η n . Par exemple, nous avons
∀i Loi(ξ
i
n ) −→
η n et η
N
n =
1
N
N
i=1
δ ξ i
n
−→
η n
Simuler des transitions al´ eatoires
X n−1 = x n−1
X n = x n
selon les distributions
M n (x n−1 , dx n ) n’est pas toujours ais´ e. De mˆ eme
l’´ evaluation des fonctions potentiel
G n requiert le calcul d’une int´ egrale :
G n (x n ) = M n+1 (G n+1 )(x n ) =
M n+1 (x n , dx n+1 ) G n+1 (x n+1 )
Lorsque la transition M n est facilement simulable, une fa¸ con de r´ esoudre simultan´ ement ces deux probl` emes consiste `
a simuler autour des ´ etats visit´ es
x n−1 ∈ E n−1 un nombre N
de variables auxiliaires/pr´ edictives (X
i
n (x n−1 )) 1≤i≤N
selon les distributions M n (x n−1 , dx n ). Par construction, nous avons les formules d’approximation suivantes :
M n (x n−1 , dx n ) N ↑∞ M
N
n (x n−1 , dx n ) :=
1
N
N
i=1
δ X i
n (xn−1) (dx n )
En reprenant les d´ efinitions des fonctions potentiel et des transitions (8.7), on
en d´ eduit les formules d’approximation :
M n (x n−1 , dx n ) N ↑∞
M
N
n (x n−1 , dx n ) :=
M
N
n (x n−1 , dx n )G n (x n )
M N
n (G n )(x n−1 )
G n (x n ) N ↑∞
G
N
n (x n ) := M
N
n+1 (G n+1 )(x n )
(8.17)