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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Dans cette situation, on peut montrer que
∀i Loi(ξ
i
n ) −→ η n et η
N
n =
1
N
N
i=1
δ ξ i
n
−→ η n
o` u η n d´ esigne la mesure de Feynman-Kac associ´ ee au couple (G n , M n ), et
` a la loi initiale η 0 . Les convergences pr´ ec´ edentes sont entendues lorsque la
taille de la population N → ∞, et pour tout indice temporel n ∈ N.
Des r´ esultats plus pr´ ecis permettent de quantifier l’ind´ ependance entre les
individus. Intuitivement, lorsque la taille de la population est suffisamment
´ elev´ ee, les individus deviennent ind´ ependants.
Autrement dit, les v.a. (ξ
1
n , . . . , ξ
N
n ) sont approximativement ind´ ependantes
et de mˆ eme loi η n . Cette propri´ et´ e est appel´ ee la propagation du chaos,
en ce sens o` u l’ind´ ependance et l’ad´ equation initiale des individus se
propage au fil du temps.
La complexit´ e temporelle des techniques de simulation par chaˆ ınes de Markov ayant une mesure invariante prescrite est ici remplac´ ee par une complexit´ e spatiale. On n’a plus besoin d’attendre une quelconque p´ eriode
de chauffage, mais on doit avoir une certaine capacit´ e de m´ emoire pour
faire ´ evoluer de grandes populations d’individus. Comme nous l’avons d´ ej` a
not´ e, les performances de ces algorithmes adaptatifs augmentent avec les
d´ eveloppements technologiques modernes.
Ces algorithmes ´ evolutionnaires d’apprentissage sont en ad´ equation parfaite avec les m´ ecanismes d’adaptation biologique. Ils sont d’un usage
courant en ing´ enierie et plus particuli` erement en intelligence artificielle. Ils
permettent d’´ elaborer des machines s’adaptant de mani` ere automatique, et
sans intervention ext´ erieure, en fonction d’observations.
Nous terminerons cette section par une remarque importante.
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Dans cette situation, on peut montrer que
∀i Loi(ξ
i
n ) −→ η n et η
N
n =
1
N
N
i=1
δ ξ i
n
−→ η n
o` u η n d´ esigne la mesure de Feynman-Kac associ´ ee au couple (G n , M n ), et
` a la loi initiale η 0 . Les convergences pr´ ec´ edentes sont entendues lorsque la
taille de la population N → ∞, et pour tout indice temporel n ∈ N.
Des r´ esultats plus pr´ ecis permettent de quantifier l’ind´ ependance entre les
individus. Intuitivement, lorsque la taille de la population est suffisamment
´ elev´ ee, les individus deviennent ind´ ependants.
Autrement dit, les v.a. (ξ
1
n , . . . , ξ
N
n ) sont approximativement ind´ ependantes
et de mˆ eme loi η n . Cette propri´ et´ e est appel´ ee la propagation du chaos,
en ce sens o` u l’ind´ ependance et l’ad´ equation initiale des individus se
propage au fil du temps.
La complexit´ e temporelle des techniques de simulation par chaˆ ınes de Markov ayant une mesure invariante prescrite est ici remplac´ ee par une complexit´ e spatiale. On n’a plus besoin d’attendre une quelconque p´ eriode
de chauffage, mais on doit avoir une certaine capacit´ e de m´ emoire pour
faire ´ evoluer de grandes populations d’individus. Comme nous l’avons d´ ej` a
not´ e, les performances de ces algorithmes adaptatifs augmentent avec les
d´ eveloppements technologiques modernes.
Ces algorithmes ´ evolutionnaires d’apprentissage sont en ad´ equation parfaite avec les m´ ecanismes d’adaptation biologique. Ils sont d’un usage
courant en ing´ enierie et plus particuli` erement en intelligence artificielle. Ils
permettent d’´ elaborer des machines s’adaptant de mani` ere automatique, et
sans intervention ext´ erieure, en fonction d’observations.
Nous terminerons cette section par une remarque importante.