8.3 M´ ethodes de simulation particulaires
233
On en d´ eduit la relation ` a rebours pour p = (n − 1)
X
n−1,n+1 = D n−1
X
n,n+1
En it´ erant ce proc´ ed´ e, on obtient l’´ equation ` a rebours recherch´ ee.
8.3 M´ ethodes de simulation particulaires
8.3.1 Dynamiques de population g´ en´ etiques
Bien que les mesures de Feynman-Kac soient d’un aspect tr` es complexes,
leur nature multiplicative permet de les simuler assez simplement. L’id´ ee cl´ e
est la suivante :
Les variations de masses de probabilit´ es de ces mesures sont dict´ ees par
des fonctions potentiel qui se multiplient dans le temps. Ces multiplications
rendent plus probables les trajectoires les mieux adapt´ ees, visitant des r´ egions
` a fort potentiel.
Nous avons d´ ej` a rencontr´ e de tels ph´ enom` enes de s´ election trajectorielle
dans notre ´ etude sur les algorithmes g´ en´ etiques et leurs arbres g´ en´ ealogiques.
Dans ce contexte biologique, les lignes ancestrales sont s´ electionn´ ees en fonction du degr´ e d’adaptation des individus. La qualit´ e de l’environnement visit´ e est `
a nouveau mesur´ ee par des fonctions potentiel. Nous terminerons en
observant qu’entre les s´ elections, les individus explorent l’espace selon une
transition markovienne.
Cette analogie entre les algorithmes g´ en´ etiques et les formules de FeynmanKac n’est pas innocente.
On consid` ere dans ce qui suit, un algorithme g´ en´ etique
ξ n = (ξ
i
n ) 1≤i≤N ∈ E
N
n
s´ election
− − − − − − − − −→
ξ n = (
ξ
i
n ) 1≤i≤N ∈ E
N
n
mutation
− − − − − − − −−→ ξ n+1
(8.16)
dont les mutations et les s´ elections sont d´ etermin´ ees ` a chaque instant n respectivement par les transitions de probabilit´ es M n , et par les fonctions
potentiel G n . On convient que les individus initiaux ξ 0 = (ξ
i
0 ) 1≤i≤N ∈ E
N
0
forment une suite de v.a. i.i.d. de mˆ eme loi η 0 .
Un description plus d´ etaill´ ee de ces mod` eles particulaires stochastiques
est donn´ ee dans la section 3.6 (cf. (3.14)). D’un point de vue physique et
math´ ematique, ces dynamiques de populations adaptatives sont des mod` eles
d’approximation de type champ moyen de flots de mesures de Feynman-Kac.
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On en d´ eduit la relation ` a rebours pour p = (n − 1)
X
n−1,n+1 = D n−1
X
n,n+1
En it´ erant ce proc´ ed´ e, on obtient l’´ equation ` a rebours recherch´ ee.
8.3 M´ ethodes de simulation particulaires
8.3.1 Dynamiques de population g´ en´ etiques
Bien que les mesures de Feynman-Kac soient d’un aspect tr` es complexes,
leur nature multiplicative permet de les simuler assez simplement. L’id´ ee cl´ e
est la suivante :
Les variations de masses de probabilit´ es de ces mesures sont dict´ ees par
des fonctions potentiel qui se multiplient dans le temps. Ces multiplications
rendent plus probables les trajectoires les mieux adapt´ ees, visitant des r´ egions
` a fort potentiel.
Nous avons d´ ej` a rencontr´ e de tels ph´ enom` enes de s´ election trajectorielle
dans notre ´ etude sur les algorithmes g´ en´ etiques et leurs arbres g´ en´ ealogiques.
Dans ce contexte biologique, les lignes ancestrales sont s´ electionn´ ees en fonction du degr´ e d’adaptation des individus. La qualit´ e de l’environnement visit´ e est `
a nouveau mesur´ ee par des fonctions potentiel. Nous terminerons en
observant qu’entre les s´ elections, les individus explorent l’espace selon une
transition markovienne.
Cette analogie entre les algorithmes g´ en´ etiques et les formules de FeynmanKac n’est pas innocente.
On consid` ere dans ce qui suit, un algorithme g´ en´ etique
ξ n = (ξ
i
n ) 1≤i≤N ∈ E
N
n
s´ election
− − − − − − − − −→
ξ n = (
ξ
i
n ) 1≤i≤N ∈ E
N
n
mutation
− − − − − − − −−→ ξ n+1
(8.16)
dont les mutations et les s´ elections sont d´ etermin´ ees ` a chaque instant n respectivement par les transitions de probabilit´ es M n , et par les fonctions
potentiel G n . On convient que les individus initiaux ξ 0 = (ξ
i
0 ) 1≤i≤N ∈ E
N
0
forment une suite de v.a. i.i.d. de mˆ eme loi η 0 .
Un description plus d´ etaill´ ee de ces mod` eles particulaires stochastiques
est donn´ ee dans la section 3.6 (cf. (3.14)). D’un point de vue physique et
math´ ematique, ces dynamiques de populations adaptatives sont des mod` eles
d’approximation de type champ moyen de flots de mesures de Feynman-Kac.