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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
On d´ emontre ce r´ esultat par r´ ecurrence `
a rebours sur l’indice p. Pour
p = n, on commence par noter que
X
n,n+1 , X
n+1,n+1
= arg max (xn,xn+1) max (y0,...,yn−1) Γ n+1 (y 0 , . . . , y n−1 , x n , x n+1 )
= arg max (xn,xn+1) max (y0,...,yn−1) (Γ n (y 0 , y 1 , . . . , y n−1 , x n ) × Q n+1 (x n , x n+1 ))
= arg max (xn,xn+1) (V n (x n ) × Q n+1 (x n , x n+1 ))
Autrement dit
max
(xn,xn+1)
(V n (x n ) × Q n+1 (x n , x n+1 )) = V n
X
n,n+1
×Q n+1
X
n,n+1 , X
n+1,n+1
D’autre part, nous avons
X
n+1,n+1 = arg max
xn+1
max
xn
(V n (x n ) × Q n+1 (x n , x n+1 ))
= arg max
xn+1
V n+1 (x n+1 )
Par cons´ equent
V n+1
X
n+1,n+1
= max
xn
V n (x n ) × Q n+1
x n , X
n+1,n+1
= V n
D n
X
n+1,n+1
× Q n+1
D n
X
n+1,n+1
, X
n+1,n+1
= V n
X
n,n+1
× Q n+1
X
n,n+1 , X
n+1,n+1
Par unicit´ e, on en conclut que
X
n,n+1 = D n
X
n+1,n+1
En utilisant les mˆ emes arguments, on montre que
V n+1
X
n+1,n+1
= V n
X
n,n+1
× Q n+1
X
n,n+1 , X
n+1,n+1
= sup xn−1
V n−1 (x n−1 ) Q n
x n−1 , X
n,n+1
Q n+1
X
n,n+1 , X
n+1,n+1
= V n−1
D n−1
X
n,n+1
Q n
D n−1
X
n,n+1
, X
n,n+1
×Q n+1
X
n,n+1 , X
n+1,n+1
et
V n+1
X
n+1,n+1
= V n−1
X
n−1,n+1
× Q n
X
n−1,n+1 , X
n,n+1
× Q n+1
X
n,n+1 , X
n+1,n+1