8.2 Mod` eles matriciels
229
η n (dx n ) =
Z n−1
Z n
(η n−1 Q n ) (dx n )
(8.14)
=
Z n−1
Z n
η n−1 (G n−1 H n (., x n )) λ n (dx n )
(8.15)
En utilisant (8.15), on montre que
η n (dx n )M n,ηn−1 (x n , dx n−1 ) = η n (dx n )
G n−1 (x n−1 ) H n (x n−1 , x n )
η n−1 (G n−1 H n (., x n ))
η n−1 (dx n−1 )
=
Z n−1
Z n
η n−1 (dx n−1 ) Q n (x n−1 , dx n )
En it´ erant ce proc´ ed´ e, on obtient la formule recherch´ ee
η n (dx n )
n
q=1
M q,ηq−1 (x q , dx q−1 ) =
1
Z n
η 0 (dx 0 ) Q 1 (x 0 , dx 1 ) . . . Q n (x n−1 , dx n )
= Q n (d(x 0 , . . . , x n ))
8.2 Mod` eles matriciels
8.2.1 Produits de matrices positives
On se donne une famille de matrices Q n = (Q n (x, y)) x∈En−1,y∈En ` a entr´ ees
positives Q n (x, y) > 0 sur des espaces de cardinaux finis E n . Pour fixer les
id´ ees, on peut supposer que ces ensembles sont ordonn´ es et homog` enes E n =
{1, . . . , d}, pour un certain d ≥ 1.
Il est important d’observer que les produits de matrices
(Q 1 Q 2 . . . Q n+1 )(x 0 , x n+1 )
=
x1,x2,...,xn Q 1 (x 0 , x 1 )Q 2 (x 1 , x 2 ) . . . Q n+1 (x n , x n+1 )
co¨ ıncident avec les (n + 1)-marginales
γ n+1 (x n+1 ) =
y0,y1,...,yn
Γ n+1 (y 0 , y 1 , . . . , y n , x n+1 )
des mesures Γ n+1 sur l’espace produit E n+1 = E 0 × E 1 × . . . × E n d´ efinies
par la formule
Γ n+1 (y 0 , y 1 , . . . , y n+1 ) = η 0 (y 0 )Q 1 (y 0 , y 1 ) . . . Q n+1 (y n , y n+1 )
avec la distribution initiale η 0 (y 0 ) = 1 x0 (y 0 ).