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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
8.2.2 Mesures de Feynman-Kac
Les mesures Γ n peuvent ˆ etre associ´ ees `
a des mesures de Feynman-Kac de
diverses fa¸ cons. Par exemple, si l’on pose
G n (x n ) =
yn+1
Q n+1 (x n , y n+1 )
et
M n+1 (x n , x n+1 ) =
Q n+1 (x n , x n+1 )
yn+1 Q n+1 (x n , y n+1 )
=
1
G n (x n )
Q n+1 (x n , x n+1 )
alors on obtient la d´ ecomposition suivante
Q n+1 (x n , x n+1 ) = G n (x n ) × M n+1 (x n , x n+1 )
On en d´ eduit la formule multiplicative suivante
Γ n+1 (y 0 , y 1 , . . . , y n+1 ) =
⎧
⎨
⎩
0≤p≤n
G p (y p )
⎫
⎬
⎭
P n+1 (y 0 , y 1 , . . . , y n+1 )
o` u P n+1 est la probabilit´ e d’une trajectoire al´ eatoire d’un processus de Markov
X n initialis´ e en X 0 = x 0 et de transitions de probabilit´ es M n
P n+1 (y 0 , y 1 , . . . , y n+1 ) = η 0 (y 0 )M 1 (y 0 , y 1 ) . . . M n+1 (y n , y n+1 )
Autrement dit, pour toute fonction f n sur l’espace E n , nous avons
Γ n (f n ) :=
yn=(y0,...,yn)∈En
Γ n (y n ) f n (y n )
= E
⎛
⎝ f n (X 0 , . . . , X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
et pour toute fonction f n sur E n
γ n (f n ) :=
yn∈En
γ n (y n ) f n (y n ) = E
⎛
⎝ f n (X n )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
Ces repr´ esentations fonctionnelles t´ emoignent de l’´ equivalence entre le calcul de produit de matrices `
a coefficien s
t positifs et celui des mesures de
Feynman-Kac sur des espaces finis. Cette simple observation coupl´ ee aux
m´ ethodes de simulation particulaires d´ ecrites dans la section 8.3 offre de nouveaux algorithmes d’approximation de produits de matrices. Ces algorithmes
stochastiques sont assez proches des algorithmes de Monte Carlo randomis´ es,
par ´ echantillonnage d’importance, ou par projections al´ eatoires, d´ evelopp´ es
dans la litt´ erature [23, 56].