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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Dans ces conditions, nous allons montrer que les formules de Feynman-Kac
normalis´ ees (8.1) s’expriment sous la forme `
a rebours suivante
Q n (d(x 0 , . . . , x n )) = η n (dx n )
n
q=1
M q,ηq−1 (x q , dx q−1 )
(8.10)
avec la famille de transitions de Markov d´ efinies par
M n+1,ηn (x, dy) :=
G n (y) H n+1 (y, x)
η n (G n H n+1 (., x))
η n (dy)
(8.11)
En terme du flot des mesures corrig´ ees
η n (dx n ) =
1
η n (G n )
G n (x n ) η n (dx n )
introduites dans la section 8.1.3, cette formule `
a rebours s’exprime sous la
forme suivante
Q n (d(x 0 , . . . , x n )) = η n (dx n )
n
q=1
M q, ηq−1 (x q , dx q−1 )
(8.12)
avec la famille de transitions de Markov d´ efinies par
M n+1, ηn (x, dy) :=
H n+1 (y, x)
η n (H n+1 (., x))
η n (dy) = M n+1,ηn (x, dy)
(8.13)
Sauf dans des cas tr` es particuliers, les transitions de Markov (8.11)
d´ ependent des lois η n et ne peuvent ˆ etre calcul´ ees explicitement. Nous rencontrerons ` a nouveau ces formulations ` a rebours dans la section 12.1.5, d´ edi´ ee
au lissage de signaux lin´ eaires et gaussiens.
Pour d´ emontrer la formule (8.10), on commence par noter que
Q n (d(x 0 , . . . , x n )) =
Z n−1
Z n
Q n−1 (d(x 0 , . . . , x n−1 )) Q n (x n−1 , dx n )
avec les op´ erateurs int´ egraux
Q n (x n−1 , dx n ) := G n−1 (x n−1 ) M n (x n−1 , dx n )
= G n−1 (x n−1 ) H n (x n−1 , x n ) λ n (dx n )
On d´ eduit de ces formules que