8.1 Mesures de Feynman-Kac
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γ n (f n ) = γ n (f n G n ) = E
f n (X n )
0≤p =
f n (x n )
0≤p G p (x p )η 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
= η 0 (G 0 )
f n (x n )
η 0 (dx 0 ) G 0 (x 0 )
η 0 (G 0 )
M 1 (G 1 )(x 0 )
M 1 (x 0 , dx 1 )G 1 (x 1 )
M 1 (G 1 )(x 0 )
× · · · × M n (G n )(x n−1 )
M n (x n−1 , dx n )G n (x n )
M n (G n )(x n−1 )
= η 0 (G 0 )
f n (x n )
⎡
⎣
0≤p G p (x p )
⎤
⎦
η 0 (dx 0 )
M 1 (x 0 , dx 1 ) . . .
M n (x n−1 , dx n )
Dans l’exemple (8.6) et (8.6), ces formules prennent la forme suivante
E
f n (X n )
0≤p≤n 1 [ap,bp] (X p )
= E
f n
X n
0≤p F (B p+1 (
X p )) − F (A p+1 (
X p ))
avec la chaˆ ıne de Markov
X n localement restreinte aux intervalles [a n , b n ]
d´ ecrite en (8.8).
Les mesures mises ` a jour ( γ n ,
η n ) co¨ ıncident avec les mesures (γ n , η n )
d´ ecrites dans la section 8.1.2 en rempla¸ cant les objets (G n , M n , X n , E n , η 0 )
par les objets ”mis `
a jour” (
G n ,
M n ,
X n ,
E n ,
η 0 ).
8.1.4 Une formulation markovienne ` a rebours
Dans cette section, nous conviendrons que les transitions de Markov M n
sont absolument continues par rapport ` a une mesure de r´ ef´ erence λ n sur les
espaces E n , et pour toute transition (x, y) ∈ (E n−1 × E n ), nous avons
H n (x, y) :=
dM n (x, .)
dλ n
(y) > 0
(8.9)