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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Notons
G n ,
M n
le couple de fonction potentiel et de transition markovienne d´ efinies pour chaque x ∈
E n par les formules suivantes :
G n (x) := M n+1 (G n+1 )(x) et
M n+1 (x, dy) :=
M n+1 (x, dy)G n+1 (y)
M n+1 (G n+1 )(x)
(8.7)
Dans l’exemple (8.6) et (8.6), pour tout x > 0 nous avons
G n (x) := M n+1 (G n+1 )(x)
= P (X n × exp (α n+1 + β n+1 W n+1 ) ∈ [a n+1 , b n+1 ] | X n = x )
= P (W n+1 ∈ [A n+1 (x), B n+1 (x)]) = F (B n+1 (x)) − F (A n+1 (x))
avec la fonction de r´ epartition gaussienne F (x) = P (W 1 ≤ x), et les bornes
d’intervalles
A n+1 (x) = (log (a n+1 /x) − α n+1 ) /β n+1
B n+1 (x) = (log (b n+1 /x) − α n+1 ) /β n+1
Par un raisonnement analogue, on d´ emontre que
M n+1 (x, dy) :=
M n+1 (x, dy)1 [an+1,bn+1] (y)
M n+1 (1 [an+1,bn+1] )(x)
= P
X n+1 ∈ dy |
X n = x
avec la chaˆ ıne de Markov d´ efinie par la formule suivante
X n+1 = F
−1
F (A n+1 (
X n )) + U n+1
F (B n+1 (
X n )) − F (A n+1 (
X n ))
(8.8)
Dans la formule pr´ ec´ edente U n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes et uniformes sur [0, 1].
On remarquera que les mesures ( γ n ,
η n ) peuvent s’exprimer en fonction de
G n ,
M n
avec les formules suivantes :
η n (f n ) :=
γ n (f n )
γ n (1)
avec
γ n (f n ) = η 0 (G 0 ) E
⎛
⎝ f n
X n
0≤p G p (
X p )
⎞
⎠ ,
ou
X n d´ esigne une chaˆ ıne de Markov sur les espaces
E n de loi initiale
η 0 et
de transitions
M n de
E n−1 dans
E n . En effet, nous avons