8.1 Mesures de Feynman-Kac
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Cette formulation abstraite est particuli` erement utile si l’on consid` ere des
processus historiques
X n = (X
0 , . . . , X
n )
(8.3)
associ´ es ` a des chaˆ ınes auxiliaires sur un espace E
. Dans cette situation, la
formulation pr´ ec´ edente permet de d´ ecrire sans effort des mesures de FeynmanKac trajectorielles
γ n (f n ) = E
f n (X
0 , . . . , X
n )
n−1
p=0
G p (X
0 , . . . , X
p )
(8.4)
8.1.3 Repr´ esentations ´ equivalentes, mesures corrig´ ees
Dans certains probl` emes pratiques, les fonctions potentiel G n peuvent s’annuler, notons
E n le support de ces fonctions
E n := {x ∈ E n : G n (x) > 0}
A titre d’exemple, reprenons le mod` ele discr´ etis´ e en temps du Brownien
g´ eom´ etrique pr´ esent´ e dans la section 5.3.2 et dans la section 14.7. Ce mod` ele
est d´ efini par la chaˆ ıne de Markov suivante
X n = X n−1 × exp (α n + β n W n )
(8.5)
pour des param` etres donn´ es (α n , β n ), avec β n > 0, une condition initiale fix´ ee
X 0 = x 0 , et une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes gaussiennes W n
centr´ ees et norm´ ees. On consid` ere des fonctions potentiel indicatrices G n =
1 [an,bn] d’intervalles [a n , b n ] avec x 0 ∈ [a 0 , b 0 ] ⊂]0, ∞[. Dans ce contexte, nous
avons
G n = 1 [an,bn] ⇒ E n = R et
E n = [a n , b n ]
(8.6)
On consid` ere par la suite les mesures mises `
a jour ( γ n ,
η n ) d´ efinies sur les
ensembles
E n et donn´ ees par les formules suivantes :
γ n (dx) = γ n (dx) G n (x) et
η n (dx) :=
1
η n (G n )
G n (x) η n (dx)
Alternativement, ces mesures de probabilit´ es peuvent ˆ etre d´ efinies pour
toutes fonctions born´ ees f n par les formules suivantes
η n (f n ) =
γ n (f n )/ γ n (1)
avec
γ n (f n ) = γ n (G n f n ) = E
f n (X n )
n
p=0
G p (X p )