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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Les mesures de Feynman-Kac normalis´ ees sont d´ efinies par les mesures de
probabilit´ es sur les trajectoires de E n
Q n (d(x 0 , . . . , x n )) =
1
Γ n (1)
Γ n (d(x 0 , . . . , x n ))
=
1
Z n
n−1
p=0
G p (x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
(8.1)
avec les constantes de normalisation
Z n = Γ n (1) = E
n−1
p=0
G p (X p )
Les mesures marginales par rapport aux coordonn´ ees x n des mesures Γ n
sont not´ ees γ n . Plus formellement, nous avons
γ n (dx n ) =
E0×...×En−1
Γ n (d(x 0 , . . . , x n−1 , x n ))
Ces mesures γ n sont d´ efinies pour toutes fonctions born´ ees f n par des formules multiplicatives de la forme :
γ n (f n ) = E
f n (X n )
n−1
p=0
G p (X p )
(8.2)
On notera par la suite η n les mesures de probabilit´ es normalis´ ees d´ efinies
pour toutes fonctions born´ ees f n
η n (f n ) =
γ n (f n )
γ n (1)
=
E
f n (X n )
n−1
p=0 G p (X p )
E
n−1
p=0 G p (X p )
Toutes ces mesures sont bien entendu d´ efinies uniquement lorsque la constante
de normalisation est non nulle
Z n = γ n (1) = E
n−1
p=0
G p (X p )
> 0