8.1 Mesures de Feynman-Kac
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Ce concept feynmanien d’histoires multiples peut s’´ etendre ` a de nombreuses
situations rencontr´ ees en physique, en biologie, dans les sciences sociales, et
dans les sciences de l’ing´ enieur :
– En filtrage, chaque trajectoire possible du signal est plus ou moins vraisemblable selon les observations re¸ cues par les capteurs de mesure.
– En biologie, ces histoires multiples entre individus s’interpr` etent plutˆ ot
comme des ´ evolutions d’arbres g´ en´ ealogiques refl´ etant les degr´ es d’adaptation de lignes de descendances.
– En physique statistique, les trajectoires multiples d’une particule
´ evoluant dans un milieu absorbant peuvent s’interpr´ eter comme des
strat´ egies de survie.
– En math´ ematiques financi` eres, les ´ evolutions multiples de portefeuilles d’actions sont pond´ er´ ees par les successions de pertes et de gains
dans un march´ e boursier.
D’un point de vue math´ ematique, les mesures de Feynman-Kac sont des
mesures positives sur des espaces produits
E n := (E 0 × . . . × E n )
de la forme suivante :
Γ n (d(x 0 , . . . , x n )) =
n−1
p=0
G p (x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
– Les fonctions G n repr´ esentent des fonctions potentiel de E n vers [0, ∞).
Pour simplifier la pr´ esentation, nous conviendrons que ces fonctions G n
sont ` a valeurs dans [0, 1].
– La mesure de probabilit´ e P n sur E n est la distribution des trajectoires
al´ eatoires d’un processus X n de Markov `
a valeurs dans les espaces E n ,
de loi initiale η 0 , et de transitions de probabilit´ es M n de E n−1 vers E n
P(X 0 ∈ dx 0 ) = η 0 (dx 0 )
et
P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n )
Autrement dit, nous avons
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P ((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
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Ce concept feynmanien d’histoires multiples peut s’´ etendre ` a de nombreuses
situations rencontr´ ees en physique, en biologie, dans les sciences sociales, et
dans les sciences de l’ing´ enieur :
– En filtrage, chaque trajectoire possible du signal est plus ou moins vraisemblable selon les observations re¸ cues par les capteurs de mesure.
– En biologie, ces histoires multiples entre individus s’interpr` etent plutˆ ot
comme des ´ evolutions d’arbres g´ en´ ealogiques refl´ etant les degr´ es d’adaptation de lignes de descendances.
– En physique statistique, les trajectoires multiples d’une particule
´ evoluant dans un milieu absorbant peuvent s’interpr´ eter comme des
strat´ egies de survie.
– En math´ ematiques financi` eres, les ´ evolutions multiples de portefeuilles d’actions sont pond´ er´ ees par les successions de pertes et de gains
dans un march´ e boursier.
D’un point de vue math´ ematique, les mesures de Feynman-Kac sont des
mesures positives sur des espaces produits
E n := (E 0 × . . . × E n )
de la forme suivante :
Γ n (d(x 0 , . . . , x n )) =
n−1
p=0
G p (x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
– Les fonctions G n repr´ esentent des fonctions potentiel de E n vers [0, ∞).
Pour simplifier la pr´ esentation, nous conviendrons que ces fonctions G n
sont ` a valeurs dans [0, 1].
– La mesure de probabilit´ e P n sur E n est la distribution des trajectoires
al´ eatoires d’un processus X n de Markov `
a valeurs dans les espaces E n ,
de loi initiale η 0 , et de transitions de probabilit´ es M n de E n−1 vers E n
P(X 0 ∈ dx 0 ) = η 0 (dx 0 )
et
P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n )
Autrement dit, nous avons
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P ((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )