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8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Ces techniques de simulation souffrent n´ eanmoins de deux inconv´ enients
majeurs. Le premier concerne les temps de calculs n´ ecessaires pour “chauffer” l’algorithme, et obtenir une r´ ealisation `
a peu pr` es satisfaisante de la
loi cible.
On notera que ce mˆ eme temps de calcul sera de plus n´ ecessaire pour simuler une seconde variable plus ou moins ind´ ependante de la premi` ere, etc. Le
second inconv´ enient est fondamental si la loi cible d´ epend d’un param` etre
temporel. C’est par exemple le cas des lois conditionnelles en filtrage de
signaux. Dans cette situation, les lois cibles d´ ependent des s´ equences d’observations d´ elivr´ ees au cours du temps par le capteur de mesure.
Pour illustrer cette situation, supposons que le signal soit mod´ elis´ e par une
chaˆ ıne de Markov X n ` a valeurs dans un espace d’´ etat E, de loi initiale η 0 et
de transitions de probabilit´ es M n . Autrement dit, nous avons
P(X 0 ∈ dx 0 ) = η 0 (dx 0 ) et P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n )
Comme nous l’avons vu dans la section 3.1, les valeurs exactes de la chaˆ ıne
X n ne sont pas directement observ´ ees. Un capteur de mesure nous fournit ` a
chaque ´ etape n certaines informations Y n sur la valeur de X n :
X 0 → X 1 → X 2 → X 3 → . . .
signal
↓
↓
↓
↓
. . .
Y 0
Y 1
Y 2
Y 3
. . . observation
Pour fixer les id´ ees, nous conviendrons que ces v.a. Y n sont r´ eelles et
d´ etermin´ ees par une ´ equation de la forme suivante :
Y n = h n (X n ) + V n
La fonction h n d´ esigne une fonction d’observation de E dans R. Les perturbations de mesure V n seront suppos´ ees ind´ ependantes du signal, ind´ ependantes
entre elles, gaussiennes, centr´ ees, et norm´ ees. Dans le mod` ele de radar examin´ e dans la section 14.1, page 409, l’´ etat X n repr´ esente les trois coordonn´ ees
de position, vitesse, et acc´ el´ eration d’une cible ; la fonction d’observation du
radar h n ne mesure que les coordonn´ ees de positions.
Pour poursuivre notre discution, il convient de rappeler que les lois a priori
des trajectoires de la chaˆ ıne
X [0,n] = (X 0 , . . . , X n )
sont donn´ ees par les mesures
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
8 Mesures de Feynman-Kac et m´ ethodes particulaires
Ces techniques de simulation souffrent n´ eanmoins de deux inconv´ enients
majeurs. Le premier concerne les temps de calculs n´ ecessaires pour “chauffer” l’algorithme, et obtenir une r´ ealisation `
a peu pr` es satisfaisante de la
loi cible.
On notera que ce mˆ eme temps de calcul sera de plus n´ ecessaire pour simuler une seconde variable plus ou moins ind´ ependante de la premi` ere, etc. Le
second inconv´ enient est fondamental si la loi cible d´ epend d’un param` etre
temporel. C’est par exemple le cas des lois conditionnelles en filtrage de
signaux. Dans cette situation, les lois cibles d´ ependent des s´ equences d’observations d´ elivr´ ees au cours du temps par le capteur de mesure.
Pour illustrer cette situation, supposons que le signal soit mod´ elis´ e par une
chaˆ ıne de Markov X n ` a valeurs dans un espace d’´ etat E, de loi initiale η 0 et
de transitions de probabilit´ es M n . Autrement dit, nous avons
P(X 0 ∈ dx 0 ) = η 0 (dx 0 ) et P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n )
Comme nous l’avons vu dans la section 3.1, les valeurs exactes de la chaˆ ıne
X n ne sont pas directement observ´ ees. Un capteur de mesure nous fournit ` a
chaque ´ etape n certaines informations Y n sur la valeur de X n :
X 0 → X 1 → X 2 → X 3 → . . .
signal
↓
↓
↓
↓
. . .
Y 0
Y 1
Y 2
Y 3
. . . observation
Pour fixer les id´ ees, nous conviendrons que ces v.a. Y n sont r´ eelles et
d´ etermin´ ees par une ´ equation de la forme suivante :
Y n = h n (X n ) + V n
La fonction h n d´ esigne une fonction d’observation de E dans R. Les perturbations de mesure V n seront suppos´ ees ind´ ependantes du signal, ind´ ependantes
entre elles, gaussiennes, centr´ ees, et norm´ ees. Dans le mod` ele de radar examin´ e dans la section 14.1, page 409, l’´ etat X n repr´ esente les trois coordonn´ ees
de position, vitesse, et acc´ el´ eration d’une cible ; la fonction d’observation du
radar h n ne mesure que les coordonn´ ees de positions.
Pour poursuivre notre discution, il convient de rappeler que les lois a priori
des trajectoires de la chaˆ ıne
X [0,n] = (X 0 , . . . , X n )
sont donn´ ees par les mesures
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )