7.3 Mod` eles d’aimantation ferromagn´ etique
201
V (x) = h
s∈S
x(s) − J
s∼t
x(s)x(t) =
s∈S
x(s) (h − J
t∼s
x(t))
(7.1)
En m´ ecanique statistique, ce syst` eme physique de verre de spins est appel´ e le
mod` ele d’Ising. Le param` etre h est un nombre r´ eel quelconque repr´ esentant un
champ magn´ etique ext´ erieur , et J un nombre fix´ e et li´ e au degr´ e d’interaction
entre les sites.
Lorsque deux spins voisins x(s) et x(t) ont la mˆ eme valeur, on a clairement
x(s)x(t) = 1 (faible ´ energie), dans le cas contraire x(s)x(t) = −1 (grande
´ energie). Le param` ere J t´ emoigne du caract` ere ferromagn´ etique J > 0 ou antiferromagn´ etique du mod` ele J < 0. Le cas J = 1 est le mod` ele ferromagn´ etique
la plus simple. En l’absence de champ magn´ etique ext´ erieur h = 0, l’´ energie
d’une configuration de spin x est donn´ ee par
V (x) = −J
s∼t
x(s)x(t) = −J
s∈S
x(s) [
t∼s
x(t)]
les configurations `
a ´ energie minimale sont les deux ´ etats stables x 1 , et x −1
donn´ ees par
∀s ∈ S
x (s) =
pour ∈ {−1, +1}. On notera que dans les deux cas
V (x 1 ) = V (x −1 ) = −J (2L)
2
× 4
Les voisins d’un point du bord sont les points voisins restreints `
a l’ensemble
S. Examinons de plus pr` es l’´ energie d’une configuration contenant que des
spins +1, sauf dans un carr´ e [−l, l]
2
⊂ [−L, L]
2 o` u les spins sont −1
x(s) =
−1 si s ∈ [−l, l]
2
+1 si s ∈ [−L, L]
2
− [−l, l]
2
Commen¸ cons par noter que si l’on change la valeur d’un spin quelconque, on
augmente l’´ energie interne du syst` eme. Cette configuration est donc un ´ etat
m´ etastable.
Les quatre sommets
C 0 = {(i, j) : i, j ∈ {−l, +l}}
du bord int´ erieur de la boˆ ıte
∂[−l, l]
2 = ({−l, l} × [−l, l]) ∪ ([−l, l] × {−l, l})
ont un spin −1 et ils sont entour´ es de deux spins −1 sur l’int´ erieur, et de deux
spins +1 sur l’ext´ erieur. L’´ energie de ces quatre points est nulle
s ∈ C 0 =⇒ [
t∼s
x(s)x(t)] = −2 + 2 = 0
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V (x) = h
s∈S
x(s) − J
s∼t
x(s)x(t) =
s∈S
x(s) (h − J
t∼s
x(t))
(7.1)
En m´ ecanique statistique, ce syst` eme physique de verre de spins est appel´ e le
mod` ele d’Ising. Le param` etre h est un nombre r´ eel quelconque repr´ esentant un
champ magn´ etique ext´ erieur , et J un nombre fix´ e et li´ e au degr´ e d’interaction
entre les sites.
Lorsque deux spins voisins x(s) et x(t) ont la mˆ eme valeur, on a clairement
x(s)x(t) = 1 (faible ´ energie), dans le cas contraire x(s)x(t) = −1 (grande
´ energie). Le param` ere J t´ emoigne du caract` ere ferromagn´ etique J > 0 ou antiferromagn´ etique du mod` ele J < 0. Le cas J = 1 est le mod` ele ferromagn´ etique
la plus simple. En l’absence de champ magn´ etique ext´ erieur h = 0, l’´ energie
d’une configuration de spin x est donn´ ee par
V (x) = −J
s∼t
x(s)x(t) = −J
s∈S
x(s) [
t∼s
x(t)]
les configurations `
a ´ energie minimale sont les deux ´ etats stables x 1 , et x −1
donn´ ees par
∀s ∈ S
x (s) =
pour ∈ {−1, +1}. On notera que dans les deux cas
V (x 1 ) = V (x −1 ) = −J (2L)
2
× 4
Les voisins d’un point du bord sont les points voisins restreints `
a l’ensemble
S. Examinons de plus pr` es l’´ energie d’une configuration contenant que des
spins +1, sauf dans un carr´ e [−l, l]
2
⊂ [−L, L]
2 o` u les spins sont −1
x(s) =
−1 si s ∈ [−l, l]
2
+1 si s ∈ [−L, L]
2
− [−l, l]
2
Commen¸ cons par noter que si l’on change la valeur d’un spin quelconque, on
augmente l’´ energie interne du syst` eme. Cette configuration est donc un ´ etat
m´ etastable.
Les quatre sommets
C 0 = {(i, j) : i, j ∈ {−l, +l}}
du bord int´ erieur de la boˆ ıte
∂[−l, l]
2 = ({−l, l} × [−l, l]) ∪ ([−l, l] × {−l, l})
ont un spin −1 et ils sont entour´ es de deux spins −1 sur l’int´ erieur, et de deux
spins +1 sur l’ext´ erieur. L’´ energie de ces quatre points est nulle
s ∈ C 0 =⇒ [
t∼s
x(s)x(t)] = −2 + 2 = 0