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7 M´ ethodes d’exploration locale et sch´ emas de temp´ erature
M (x, θ
−
u (x)) = M (θ
−
u (x), x)
On en conclut que la transition M (x, y) est sym´ etrique en ce sens o` u
∀(x, y) ∈ E
2
M (x, y) = M (y, x)
Supposons que le marcheur soit initialis´ e en un point X 0 , choisi au hasard
et uniform´ ement dans E = {−1, +1}
S . Autrement dit, pour toute configuration x ∈ {−1, +1}
S
P(X 0 = x) = μ(x) = d´ ef.
1
|E|
=
1
2 L 2
D’apr` es la discussion pr´ ec´ edente, cette distribution est r´ eversible par rappport
` a la transition M , en ce sens o` u
μ(x) M (x, y) = μ(y) M (y, x)
pour chaque transition (x, y) ∈ E
2 . Pour calculer la distribution de l’´ etat
suivant X 1 , on utilise la d´ ecomposition suivante :
P(X 0 = x , X 1 = y) = P(X 1 = y | X 0 = x) × P(X 0 = x) =
1
2 L 2 M (x, y)
En utilisant les propri´ et´ es de r´ eversibilit´ e, on en conclut que
P(X 1 = y) =
x∈E
P(X 0 = x , X 1 = y) =
x∈E
P(X 1 = y | X 0 = x) P(X 0 = x)
=
1
2 L 2
x∈E
M (y, x) =
1
2 L 2 = μ(y)
Plus g´ en´ eralement, le marcheur est `
a chaque instant distribu´ e sur E selon la
loi μ
∀n ≥ 1
P(X n = x) = μ(x)
On a donc montr´ e que la mesure uniforme μ est une mesure r´ eversible du
mouvement, et a fortiori une mesure invariante de l’exploration. Ces mesures
invariantes repr´ esentent le comportement asymptotique du processus d’exploration. Apr` es un temps assez long, la position d’un marcheur initialis´ e en un
point quelconque, est ` a peu pr
´
es distribu´ e uniform´ ement sur l’ensemble des
configurations. Apr` es ces longues p´ eriodes d’exploration, la distribution du
marcheur ne change plus. Il reste alors distribu´ e selon la mesure invariante du
mouvement.
7.3.4 Fonctions d’´ energie
L’´ energie d’une configuration de spin x = (x(s)) s∈S ∈ {−1, +1}
S est
d´ efinie par la donn´ ee d’une fonction de la forme suivante