7.3 Mod` eles d’aimantation ferromagn´ etique
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al´ eatoirement, et uniform´ ement un site U = (U 1 , U 2 ) parmi l’ensemble des
sites S, et en posant
x y = θ U (x)
o` u θ U d´ esigne l’application de {−1, +1}
S vers lui mˆ eme d´ efinie par
θ U (x)(s) = x(s) pour tous les sites s ∈ S − {U }
et
θ U (x)(U ) =
+1 avec probabilit´ e 1/2
−1 avec probabilit´ e 1/2
La marche al´ eatoire repr´ esentant les variations de l’aimantation au fil du
temps `
a partir d’une configuration initiale X 0 ∈ {−1, +1}
S est donn´ ee par la
formule r´ ecursive suivante
X n = θ Un (X n−1 )
o` u U n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
que U .
7.3.3 Comportement en temps long
Essayons d’approfondir l’´ etude de cette exploration al´ eatoire. Les probabilit´ es de transitions de ce processus al´ eatoire sont donn´ ees par la formule
synth´ etique suivante :
P(X n = y | X n−1 = x) = M (x, y) = d´ ef.
1
L 2
u∈S
1
2
1 θ
+
u (x) (y) +
1
2
1 θ
−
u (x) (y)
avec le couple d’applications (θ
−
u , θ
−
u ) de {−1, +1}
S vers lui mˆ eme d´ efinies par
θ
−
u (x)(s) = θ
+
u (x)(s) = x(s) pour tous les sites s ∈ S − {u}
et
θ
−
u (x)(u) = −1 et θ
+
u (x)(u) = +1
Avec ces notations, on peut noter que l’on a
θ
±
u θ
+
u = θ
±
u
θ
±
u θ
−
u = θ
±
u
et par cons´ equent
M (x, θ
+
u (x)) =
1
2L 2 =
1
L 2
1
2
1 θ
+
u (x) (x) +
1
2
1 θ
−
u (x) (x)
=
1
L 2
1
2
1 θ
+
u (θ
+
u (x)) (x) +
1
2
1 θ
−
u (θ
+
u (x)) (x)
= M (θ
+
u (x), x)
De mˆ eme on obtient