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7 M´ ethodes d’exploration locale et sch´ emas de temp´ erature
Les trois sections suivantes concernent des exemples plus ou moins acad´ emiques de syst` emes de voisinages issus de mod` eles physiques, ou encore
associ´ es aux applications d´ ecrites dans la discussion pr´ ec´ edente. Dans chacun
des cas, nous ´ etudierons en d´ etail les dynamiques d’explorations correspondantes, en soulignant les mesures invariantes des processus sous-jacents.
7.3 Mod` eles d’aimantation ferromagn´ etique
7.3.1 M´ etriques et syst` emes de voisinages
Les ph´ enom` enes d’aimantation ferromagn´ etique sont souvent repr´ esent´ es
en m´ ecanique statistique par des mod` eles de verres de spins sur des espaces
d’´ etats de la forme suivante :
E = {−1, +1}
S
avec S = {−L, . . . , L} × {−L, . . . , L}.
Les spins +1 ou −1 correspondent aux moments cin´ etiques internes des atomes
situ´ es sur chacun des sites S. Autrement dit, chaque ´ etat magn´ etique
x = (x(s)) s∈S ∈ E = {−1, +1}
S
repr´ esente une configuration particuli` ere des spin x(s) ∈ {−1, +1} en chaque
site s ∈ S du r´ eseau S. On d´ efinit sur cet espace une distance naturelle en
comptant simplement le nombre de spins distincts entre deux configurations
donn´ ees
d(x, y) =
1
2
s∈S
|x(s) − y(s)|
Comme pr´ ec´ edemment, on peut associer ` a cette distance une vari´ et´ e de
syst` emes de voisinages plus ou moins vastes. `
A titre d’exemple, les voisinages
de configurations ne diff´ erant que d’un spin au plus correspondent ` a la relation
de voisinage suivante
x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) ≤ 1
Ces syst` emes de voisinages permettent de passer d’une configuration ferromagn´ etique ` a une autre, en au plus |S| = L
2 ´ etapes. Plus pr´ ecis´ ement, pour
chaque coupe de configurations x = (x(s)) s∈S et y = (y(s)) s∈S , il existe une
suite d’´ etats (x p ) p=1,...,n , avec n ≤ |S|, telle que
x → x 1 ∼ x → x 2 ∼ x 1 → . . . → x n−1 → x n ∼ x n−1 → x ∼ x n
7.3.2 Explorations al´ eatoires
Ces syst` emes de voisinages conduisent `
a des processus cin´ etiques libres
d’aimantation ne modifiant qu’un seul spin par unit´ e de temps. Ces transitions
al´ eatoires entre deux configuratio
peuvent ˆ etre simul´ ees en choisissant
ns x
7 M´ ethodes d’exploration locale et sch´ emas de temp´ erature
Les trois sections suivantes concernent des exemples plus ou moins acad´ emiques de syst` emes de voisinages issus de mod` eles physiques, ou encore
associ´ es aux applications d´ ecrites dans la discussion pr´ ec´ edente. Dans chacun
des cas, nous ´ etudierons en d´ etail les dynamiques d’explorations correspondantes, en soulignant les mesures invariantes des processus sous-jacents.
7.3 Mod` eles d’aimantation ferromagn´ etique
7.3.1 M´ etriques et syst` emes de voisinages
Les ph´ enom` enes d’aimantation ferromagn´ etique sont souvent repr´ esent´ es
en m´ ecanique statistique par des mod` eles de verres de spins sur des espaces
d’´ etats de la forme suivante :
E = {−1, +1}
S
avec S = {−L, . . . , L} × {−L, . . . , L}.
Les spins +1 ou −1 correspondent aux moments cin´ etiques internes des atomes
situ´ es sur chacun des sites S. Autrement dit, chaque ´ etat magn´ etique
x = (x(s)) s∈S ∈ E = {−1, +1}
S
repr´ esente une configuration particuli` ere des spin x(s) ∈ {−1, +1} en chaque
site s ∈ S du r´ eseau S. On d´ efinit sur cet espace une distance naturelle en
comptant simplement le nombre de spins distincts entre deux configurations
donn´ ees
d(x, y) =
1
2
s∈S
|x(s) − y(s)|
Comme pr´ ec´ edemment, on peut associer ` a cette distance une vari´ et´ e de
syst` emes de voisinages plus ou moins vastes. `
A titre d’exemple, les voisinages
de configurations ne diff´ erant que d’un spin au plus correspondent ` a la relation
de voisinage suivante
x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) ≤ 1
Ces syst` emes de voisinages permettent de passer d’une configuration ferromagn´ etique ` a une autre, en au plus |S| = L
2 ´ etapes. Plus pr´ ecis´ ement, pour
chaque coupe de configurations x = (x(s)) s∈S et y = (y(s)) s∈S , il existe une
suite d’´ etats (x p ) p=1,...,n , avec n ≤ |S|, telle que
x → x 1 ∼ x → x 2 ∼ x 1 → . . . → x n−1 → x n ∼ x n−1 → x ∼ x n
7.3.2 Explorations al´ eatoires
Ces syst` emes de voisinages conduisent `
a des processus cin´ etiques libres
d’aimantation ne modifiant qu’un seul spin par unit´ e de temps. Ces transitions
al´ eatoires entre deux configuratio
peuvent ˆ etre simul´ ees en choisissant
ns x