7.2 La notion de voisinage
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Fig. 7.1. Marche al´ eatoire sur Z
2
Plus formellement, le vecteur al´ eatoire U est distribu´ e selon la loi de probabilit´ e suivante :
P (U = u 1 ) = P (U = u 2 ) = P (U = u 3 ) = P (U = u 4 ) =
1
4
Cette transition al´ eatoire i j s’exprime alternativement en terme du voisinage du point i
V(i) = {j ∈ Z
2 : j ∼ i} = {i + u 1 , i + u 2 , i + u 3 , i + u 4 }
avec la formule
P(i + U = j) =
1
4
1 V(i) (j) =
1
4
4
k=1
1 i+u k (j)
La marche al´ eatoire repr´ esentant l’´ evolution du marcheur initialis´ ee en un
point du r´ eseau X 0 ∈ Z
2 est donn´ ee par la formule r´ ecursive suivante
X n = X n−1 + U n
o` u U n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, et de mˆ eme
loi que U . On peut bien sur modifier les amplitudes d’exploration de notre
marcheur, en consid´ erant des explorations locales de syst` emes de voisinages
plus vastes.
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