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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
Fig. 6.11. Echantilonneur de Gibbs sur la sph` ere
Lorsque d = 2, ces formules de d´ esint´ egration s’expriment sous la forme
suivante
π(d(u 1 , u 2 )) = π 1 (du 2 ) π
1 (u 2 , du 1 )
avec la loi du demi cercle π 1 de rayon a et la mesure uniforme π
1 (u 2 , du 1 ) sur
l’intervalle
−
a 2 − u 2
2 , +
a 2 − u 2
2
:
π 1 (du 2 ) =
2
a 2 − u 2
2
πa 2
1 [−a,+a] (u 2 ) du 2
π
1 (u 2 , du 1 ) =
1
2
a 2 − u 2
2
1
−
√
a 2 −u 2
2 ,+
√
a 2 −u 2
2
(u 1 ) du 1
pour chaque u 2 ∈ [−
√ a, +
√ a]. De mˆ eme, nous avons
π(d(u 1 , u 2 )) = π 2 (du 1 ) π
2 (u 1 , du 2 )
avec pour chaque u 1 ∈ [−
√ a, +
√ a].
π 2 (du 1 ) =
2
a 2 − u 2
1
πa 2
1 [−a,+a] (u 1 ) du 1
π
2 (u 1 , du 2 ) =
1
2
a 2 − u 2
1
1
−
√
a 2 −u 2
1 ,+
√
a 2 −u 2
1
(u 2 ) du 2