6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
187
Dans cette situation, la premi` ere transition K 1 de l’´ echantillonneur de Gibbs
est donn´ ee par la formule suivante
U 1
U 2
transition K1
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −→
V 1
U 2
avec un point V 1 uniform´ ement choisi dans l’ensemble
S
1
a 2 − U 2
2
=
−
a 2 − U 2
2 , +
a 2 − U 2
2
La premi` ere transition K 2 de l’´ echantillonneur de Gibbs est donn´ ee par la
formule suivante
V 1
U 2
transition K2
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −→
V 1
V 2
avec un point V 2 uniform´ ement choisi dans l’intervalle
S
1
a 2 − V 2
1
=
−
a 2 − V 2
1 , +
a 2 − V 2
1
La figure 6.12 repr´ esente l’´ evolution d’un ´ echantillonneur de Gibbs sur un
disque.
Comme nous l’avons vu pr´ ec´ edemment, cette technique de simulation
s’´ etend sans grande difficult´ e ` a des figures plus complexes. Par exemple, la
figure 6.13 repr´ esente l’´ evolution d’un ´ echantillonneur de Gibbs sur un tr` efle.
Chaque point X k est choisi en fonction du pr´ ec´ edent suivant l’axe des abscisses ou des ordonn´ ees. Les ´ etats al´ eatoires d’indices impairs repr´ esentent une
transition ´ el´ ementaire de l’algorithme dans laquelle les deux coordonn´ ees sont
chang´ ees.
6.5.5 Mesures de comptage sur des espaces produits
Dans le cas d’espace d’´ etats finis, les mod` eles de d´ esint´ egration de mesures
d´ ecrits dans la section 6.5.3 s’´ ecrivent en fonction de mesures discretes
´
λ : u ∈ E = S
d
→ λ(u) ∈ [0, 1]
Lorsque λ(u) =
1
Card(E)
d´ esigne la mesure de comptage sur l’espace produit
E = S
d , les mesures cibles π pr´ esent´ ees en (6.8) sont tout simplement donn´ ees
par la mesure comptage sur un ensemble fini et non vide A ⊂ E
π(u) :=
1
Card(A)
1 A (u)