6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
185
π p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
=
2
a 2 −
1≤q≤d, q =p u 2
q
vol
S (d) (a)
×1 S (d−1) (a) (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )
1≤q≤d, q =p du q
Pour presque tous les (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) ∈ S
(d−1) (a), les mesures
conditionnelles π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p ) sont simplement donn´ ees
par les mesures uniformes suivantes :
π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p )
:=
1
2
a 2 −
1≤q≤d, q =p u 2
q
×1 [−
√
a 2 −
1≤q≤d, q =p u 2
q ,+
√
a 2 −
1≤q≤d, q =p u 2
q ] (u p ) du p
P
La p-i` eme transition K p de l’´ echantillonneur de Gibbs (6.6) associ´ e `
a ces
formules de d´ esint´ egrations est clairement donn´ ee par la formule suivante
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
V 1
. . .
V p−1
U p
U p+1
. . .
U d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Transition Kp
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
V 1
. . .
V p−1
V p
U p+1
. . .
U d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
avec un point V p uniform´ ement choisi dans l’intervalle
⎡
⎣ −
a 2 −
1≤q V 2
q −
p+1≤q≤d
U 2
q , +
a 2 −
1≤q V 2
q −
p+1≤q≤d
U 2
q
⎤
⎦
La figure 6.11 repr´ esente l’´ evolution d’un ´ echantillonneur de Gibbs sur une
sph` ere. Chacune des transitions X k X k+1 s’exprime par un choix al´ eatoire
d’une coordonn´ ee sur l’axe correspondant inscrit dans le disque d´ etermin´ e par
les deux autres composantes.