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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
Formules de d´ esint´ egration de mesures de volumes :
π(d(u 1 , . . . , u d ))
= π p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )) × π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p )
avec la mesure π p sur la projection A p = proj p (A) de l’ensemble sur
l’espace produit S
(d−1) d´ ecrite en (6.9), et la mesure uniforme π
p sur la
section A
p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) de l’ensemble A au dessus du point
(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) :
π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p )
:=
1 A p (u1,...,up−1,up+1,...,u d ) (u p )
Vol (A p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
du p
Examinons ces formules dans le cas de l’hypersph` ere S
(d) (a). On rappelle
que le volume de l’hypersph` ere de dimension d est donn´ e par la formule suivante :
vol
S
(d) (a)
=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(2π)
d/2 a
d
2 · 4 · . . . d
si d pair
2 (2π)
(d−1)/2 a
d
1 · 3 · . . . d
si d impair
Dans ce contexte, les ensembles A p et A
p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) d´ ecrits
en (6.9) et (6.10) sont donn´ es explicitement par les formules suivantes :
A p = S
(d−1) (a)
=
⎧
⎨
⎩
(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) ∈ R
d−1 :
1≤q≤d, q :=p
u
2
q ≤ a
2
⎫
⎬
⎭
et pour chaque (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) ∈ A p
A
p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) =
⎧
⎨
⎩
u p ∈ R : u
2
p ≤ a
2
−
1≤q≤d, q :=p
u
2
q
⎫
⎬
⎭
On pourra noter que l’on a
a
2 <
1≤q≤d, q :=p
u
2
q =⇒ A
p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) = ∅
Autrement dit, nous avons l’´ equivalence suivante :