6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
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La p-i` eme transition K p de l’´ echantillonneur de Gibbs (6.6) associ´ ee ` a ces
formules de d´ esint´ egrations est clairement donn´ ee par la formule suivante
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
V 1
. . .
V p−1
U p
U p+1
. . .
U d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
transition Kp
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
V 1
. . .
V p−1
V p
U p+1
. . .
U d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
avec un point V p choisi dans l’ensemble A
p (V 1 , . . . , V p−1 , U p+1 , . . . , U d ) avec
la distribution π
p ((V 1 , . . . , V p−1 , U p+1 , . . . , U d ), dv p ).
6.5.4 Mesures de volume sur des espaces produits
Soit A ⊂ R
d , d ≥ 1, un sous ensemble de volume fini et non nul
vol(A) =
A
du =
1 A (u) du ∈]0, ∞[.
Dans la formule pr´ ec´ edente du = du 1 ×. . .×du d d´ esigne la mesure de Lebesgue
sur R
d .
L’objectif de cette section est de d´ evelopper des formules de d´ esint´ egration
de la mesure uniforme suivante :
π(du) :=
1
vol(A)
1 A (u) du
(6.12)
On illustrera ces d´ eveloppements avec le cas de l’hypersph` ere S
(d) (a) de
dimension d et de rayon a
A = S
(d) (a) :=
(u 1 , . . . , u d ) ∈ R
d :
d
p=1
u
2
p ≤ a
2
On commence par remarquer que les mesures de volumes d´ ecrites en (6.12)
co¨ ıncident avec les mesures cibles d´ efinies en (6.8) lorsque la mesure de
r´ ef´ erence λ est la mesure de Lebesgue sur l’espace produit R
d . Une simple
application des formules d´ ecrites en (6.11) nous conduit aux formules de
d´ esint´ egrations suivantes :