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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
λ p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )) =
1≤q≤d, q =p
μ q (du q )
λ
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p ) = μ p (du p )
On se donne un sous ensemble assez r´ egulier de l’espace produit A ⊂ E(=
S
d ) et tel que λ(A) > 0. On consid` ere par la suite la mesure cible π restriction de la mesure λ ` a l’ensemble A :
π(d(u 1 , . . . , u d )) :=
1
λ(A)
1 A (u 1 , . . . , u d ) λ(d(u 1 , . . . , u d ))
(6.8)
Notons A p la projection de l’ensemble A sur l’espace produit S
(d−1) d´ eduit
du produit cart´ esien E = S
d en enlevant le p-i` eme axe :
A p = proj p (A) =
proj p (u) : u ∈ A
(6.9)
avec
proj p : u = (u 1 , . . . , u d ) ∈ S
d
→ proj p (u) := (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )
On pourra noter que
A p :=
(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) ∈ S
d−1
: ∃u p ∈ S t.q. (u 1 , . . . , u p , . . . , u d ) ∈ A}
Pour chaque (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )
∈
S
d−1 , on note
A
p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) la p-i` eme section de A d´ efinie par la
formule suivante :
A
p (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )
:= {u p ∈ S t.q. (u 1 , . . . , u p−1 , u p , u p+1 , . . . , u d ) ∈ A}
(6.10)
La figure 6.8 illustre ces notions de projections et sections d’ensemble dans
le cas d’une surface.
Examinons ces notions dans un cas concret. Supposons que A soit le sous
ensemble de S
d = R
d d´ efini par la formule suivante