6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
177
Autrement dit, la transition de l’´ echantillonneur de Gibbs
⎛
⎜
⎝
U 1
. . .
U d
⎞
⎟
⎠
Transition M =(K1...K d )
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −→
⎛
⎜
⎝
V 1
. . .
V d
⎞
⎟
⎠
pr´ eserve la loi cible π et le vecteur al´ eatoire (V
1 , . . . , V
d ) est `
a nouveau
distribu´ e selon la loi π sur l’espace produit E = S
d .
6.5.3 D´ esint´ egration de mesures restreintes
On se donne une mesure positive et born´ ee λ sur l’ensemble produit E = S
d ,
v´ erifiant les formules de d´ esint´ egrations suivantes pour chaque param` etre
1 ≤ p ≤ d :
λ(d(u 1 , . . . , u d ))
= λ p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )) × λ
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p )
(6.7)
Comme pr´ ec´ edemment, λ p correspond ` a la marginale de λ sur toutes
les coordonn´ ees autres que p, c’est-` a-dire
λ p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
=
up∈S
λ(d(u 1 , . . . , u p−1 , u p , u p+1 , . . . , u d ))
Dans la formule de d´ esint´ egration, λ
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p ) d´ esigne
une mesure positive et born´ ee sur S, pour chaque point
(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) ∈ S
d−1
Afin d’illustrer cette hypoth` ese, examinons rapidement la situation o` u la
mesure λ est le produit des mesures (μ p ) 1≤p≤d sur chaque coordonn´ ee de S :
λ(d(u 1 , . . . , u d )) :=
d
p=1
μ p (du p )
Dans cette situation, les formules de d´ esint´ egration sont trivialement satisfaites avec pour chaque indice p :