6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
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La p
i` eme coordonn´ ee v p est choisie al´ eatoirement selon la loi conditionnelle de
la v.a. U
p sachant que U p = (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ). Plus formellement
cette transition de probabilit´ e s’exprime sous la forme int´ egrale
K p (f )(u 1 , . . . , u d )
=
E
π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ); du p )f ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
pour tout fonction born´ ee f sur S
d , ou plus synth´ etiquement sous la forme de
mesures
K p ((u 1 , . . . , u d ); d(v 1 , . . . , v d ))
= δ (u1,...,up−1,up+1,...,u d ) (d(v 1 , . . . , v p−1 , v p+1 , . . . , v d ))
×π
p ((v 1 , . . . , v p−1 , v p+1 , . . . , v d ); dv p )
Par construction, nous avons
π(d(u 1 , . . . , u d )) K p ((u 1 , . . . , u d ); d(v 1 , . . . , v d ))
= π(d(v 1 , . . . , v d )) K p ((v 1 , . . . , v d ); d(u 1 , . . . , u d ))
pour chaque indice p = 1, . . . , d. On pourra noter que cette propri´ et´ e de
r´ eversibilit´ e entraˆ ıne que
π(du
(1) ) K 1 (u
(1) , du
(2) )
K 2 (u
(2) , du
(3) )
=
π(du
(2) ) K 1 (u
(2) , du
(1) )
K 2 (u
(2) , du
(3) )
=
π(du
(2) ) K 2 (u
(2) , du
(3) )
K 1 (u
(2) , du
(1) )
= π(du
(3) ) K 2 (u
(3) , du
(2) ) K 1 (u
(2) , du
(1) )
et plus g´ en´ eralement
π(du
(0) )
d
p=1
K p (u
(p−1) , du
(p) ) = π(du
(d) )
d
p=1
K p (u
(d−(p−1)) , du
(d−p) )
D’apr` es les discussions pr´ ec´ edentes, nous obtenons le r´ esultat suivant :
La mesure cible π est une mesure r´ eversible par rapport aux transitions de
probabilit´ es K p . Ceci entraˆ ıne que π est une mesure invariante pour chaque
transition de probabilit´ e K p
∀p ∈ {1, . . . , d}
πK p = π