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6 M´ ethodes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (MCMC)
Exemple 6.5.2 En reprenant le mod` ele d’Ising examin´ e dans l’exemple 6.5.1,
nous avons pour chaque p = 1, . . . , d
6.5.2 Algorithme de simulation
Pour chaque indice p, on note K p la transition de probabilit´ es de S
p
dans S
p correspondant simplement au changement de la p
i` eme
coordonn´ ee. Autrement dit, partant d’un vecteur (u 1 , . . . , u d ), on conserve
toutes les coordonn´ ees, sauf la p
i` eme choisie al´ eatoirement selon la loi
π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ); du p ).
Cette transition peut s’exprimer de fa¸ con synth´ etique par le diagramme suivant :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
u 1
. . .
u p−1
u p
u p+1
. . .
u d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
transition Kp
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
u 1
. . .
u p−1
v p
u p+1
. . .
u d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
π(u 1 , u 2 , . . . , u d )
∝
d
i=1 e
−hui−J ui (
j∼i uj )
∝ e
−hup−Jup (
j∼p uj ) × e
−h
i =p ui−J
i∼j,i =p,j =p ui uj
On en conclut que
π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ); u p ) ∝ e
−hup−Jup (
j∼p uj )