6.5 L’´ echantillonneur de Gibbs
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s’exprime alors sous la forme
π(u) = π(u 1 , u 2 , . . . , u d ) =
e
−V (u)
Z
=
1
Z
exp
⎧
⎨
⎩
−h
d
i=1
u i − J
i∼j
u i u j
⎫
⎬
⎭
o` u Z d´ esigne la constante de normalisation.
Pour chaque indice p = 1, . . . , d, on note U p le vecteur al´ eatoire `
a valeurs
dans S
d−1 , d´ eduit de U en ˆ otant la p
i` eme coordonn´ ee
U p = (U
1 , . . . , U
p−1 , U
p+1 , . . . , U
d )
Autrement dit, nous avons
U 1 = (U
2 , U
3 , . . . , U
d ), U 2 = (U
1 , U
3 , U
4 , . . . , U
d )
U 3 = (U
1 , U
2 , U
4 , U
5 , . . . , U
d ), . . .
On note enfin π p , la loi du vecteur U p :
P((U
1 , . . . , U
p−1 , U
p+1 , . . . , U
d ) ∈ d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
= π p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
et π
p la loi conditionnelle de la v.a. U
p sachant le vecteur U p
P(U
p
∈ du p | (U
1 , . . . , U
p−1 , U
p+1 , . . . , U
d ) = (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
= π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ); du p )
Autrement dit, la mesure π p correspond `
a la marginale de π sur toutes les
coordonn´ ees autres que p, c’est-` a-dire
π p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ))
=
up∈S
π(d(u 1 , . . . , u p−1 , u p , u p+1 , . . . , u d ))
et pour chaque indice p, nous avons la formule de d´ esint´ egration
π(d(u 1 , . . . , u p−1 , u p , u p+1 , . . . , u d ))
= π p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )) × π
p ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ); du p )